Toric, U(2), and LeBrun metrics

• Autores: Brian Weber
• Localización: Cubo: A Mathematical Journal, ISSN 0716-7776, ISSN-e 0719-0646, Vol. 22, Nº. 3, 2020, págs. 395-410
• Idioma: inglés
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    Resumen El ansatz de LeBrun fue diseñado para métricas Kähler escalares-planas con una simetría continua; acá mostramos que es generalizable a clases mucho más amplias de métricas con una simetría. Establecemos las condiciones para que una métrica sea (localmente) expresable con la forma de ansatz de LeBrun, las condiciones bajo las cuales su estructura compleja natural es integrable, y las condiciones que producen una métrica que es Kähler, escalar-plana, o Kähler extremal. En segundo lugar, métricas teóricas Kähler (tales como las Taub-NUT generalizadas) y métricas U(2)-invariantes (tales como la métrica de Fubini-Study o la de Page) son ciertamente expresables en el ansatz de LeBrun. Damos fórmulas generales para tales transiciones. Concluimos el artículo con ejemplos, y encontramos expresiones para dos ejemplos-la métrica excepcional del semiplano y la métrica de Page-en términos del ansatz de LeBrun.

  • English

    Abstract The LeBrun ansatz was designed for scalar-flat Kähler metrics with a continuous symmetry; here we show it is generalizable to much broader classes of metrics with a symmetry. We state the conditions for a metric to be (locally) expressible in LeBrun ansatz form, the conditions under which its natural complex structure is integrable, and the conditions that produce a metric that is Kähler, scalar-flat, or extremal Kähler. Second, toric Kähler metrics (such as the generalized Taub-NUTs) and U(2)-invariant metrics (such as the Fubini-Study or Page metrics) are certainly expressible in the LeBrun ansatz. We give general formulas for such transitions. We close the paper with examples, and find expressions for two examples-the exceptional half-plane metric and the Page metric-in terms of the LeBrun ansatz.