Resumen de Some notes about power residues modulo prime

Diego Alejandro Mejía Guzmán, Yuki Kiriu

• español

  Sea q un número primo. Clasificamos los primos impares p ≠ q tal que la ecuación x2 ≡ q (mód p) tiene solución, concretamente, hay un subgrupo L4q del grupo multiplicativo U4q de los enteros primos relativos con 4q (módulo 4q) tal que x2 ≡q (mód p) tiene solución si y solo si p ≡ c (mód 4q) para algún c ∈ L4q. Aún más, L4q es el único subgrupo de U4q con la mitad del orden que contiene a −1.

  En conexión con el anillo Z[√2], para cualquier primo impar p se sabe que la ecuación x2 ≡ 2 (mód p) tiene solución si y solo si x2 −2y2 = p tiene solución en los enteros. Nos preguntamos si esta situación se puede extender al contexto de Z[ n√2] con n ≥2, a saber: para cualquier primo p ≡1 (mód n), ¿la ecuación xn ≡ 2 (mód p) tiene solución si y solo si D2n(x0, . . . , xn−1) = p tiene solución en los enteros? Aquí D2n(x̄) representa la norma de Q( n√2) como extensión del campo Q. Solucionamos algunas versiones débiles de este problema, donde igualdad con p se reemplaza por 0 (mód p) (divisible por p), y la “norma” Drn(x̄) se considera para cualquier r ∈ Z en lugar de 2.

• English

  Let q be a prime. We classify the odd primes p ≠ q such that the equation x2 ≡ q (mod p) has a solution, concretely, we find a subgroup L4q of the multiplicative group U4q of integers relatively prime with 4q (modulo 4q) such that x2 ≡ q (mod p) has a solution iff p ≡ c (mod 4q) for some c ∈ L4q. Moreover, L4q is the only subgroup of U4q of half order containing −1.

  Considering the ring Z[√2], for any odd prime p it is known that the equation x2 ≡ 2 (mod p) has a solution iff the equation x2 −2y2 = p has a solution in the integers. We ask whether this can be extended in the context of Z[n√2] with n ≥2, namely: for any prime p ≡ 1 (mod n), is it true that xn ≡ 2 (mod p) has a solution iff the equation D2n(x0, . . . , xn−1) = p has a solution in the integers? Here D2n(x̄) represents the norm of the field extension Q(n√2) of Q. We solve some weak versions of this problem, where equality with p is replaced by 0 (mod p) (divisible by p), and the “norm" Drn(x̄) is considered for any r ∈ Z in the place of 2.