Resumen de Las proyecciones espectrales positivas y negativas son aplicaciones de clase $C^{\infty}$

Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo

• español

  Sea $H$ un espacio de Hilbert real o complejo. Denotaremos por $Gl_{S}(H)$  el conjunto formado por los isomorfismos auto-adjuntos limitados en $H$. Si  $L\in Gl_{S}(H)$, entonces existe una descomposición  $H=H_{+}(L)\oplus H_{-}(L),$ invariante por $L,$ tal que $L$ es positivo en $H_{+}(L)$ y negativo en  $H_{-}(L)$.El objetivo principal de este trabajo es dar una prueba elemental de que  $ P_{-}, P_{+}:  Gl_{S}(H) \rightarrow L_ {S} (H),$ $P_{-}(L)$, donde $ P_{-}(L)$ y $ P_{+}(L)$ son las proyecciones ortogonales sobre $H_{-}(L)$ y $H_{+}(L)$ respectivamente, pueden ser expresadas como\begin{equation*}P_{-}(L) = - \frac{1}{2 \pi i} \int_ {\Gamma}  (L-\lambda I)^{-1} d \lambda \quad \text{ e }\quad P_{+}(L) = I+ \frac{1}{2 \pi i} \int_ {\Gamma}  (L-\lambda I)^{-1} d \lambda ,\end{equation*} donde  $ \Gamma $ es un camino cerrado  diferenciable que contiene en su interior el espectro negativo de $L$. Usando esta  representaci\'on, veremos que $P_{-}$ y $P_{+}$ son aplicaciones de clase $C^{\infty}$.  

• English

  Let H be a real or complex Hilbert space. We denote by GlS(H) the set consisting of self-adjoint bounded isomorphism. If L 2 GlS(H), then there exist a L-invariant splitting H = H+(L) H􀀀(L); such that L is positive on H+(L) and negative on H􀀀(L). The main goal of this work is to give an elementary prove of that P􀀀; P+ : GlS(H) ! LS(H), where P􀀀(L) and P+(L) are the orthogonal projections onto H􀀀(L) and H+(L) respectively, can be expressed asP􀀀(L) = 􀀀 1 2i Z 􀀀 (L 􀀀 I)􀀀1d and P+(L) = I + 1 2i Z 􀀀 (L 􀀀 I)􀀀1d;where 􀀀 is a closed path containing the negative spectrum of L in its interior. Using this representation, we willsee that P􀀀 and P+ are C1-maps.