Resumen de Contracção dimensional sistemática: uma proposta metodológica para o cálculo de equações e sistemas de M equações lineares com N incógnitas.
- español
Los sistemas lineales homogéneos integran propiedades especiales que los diferencian de los demás sistemas lineales y permiten simplificar la búsqueda por soluciones que, en ciertas condiciones, promueven soluciones generales de hasta sistemas heterogéneos y sistemas no lineales, de ahí su crucial importancia en la Matemática, ciencias afines y en la Ingeniería. Desde los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemática de la Antigua China a los autores como SekiKowa, Leibniz, Cayley, Silvester, Bôcher, la resolución de los sistemas lineales pasó a contar con métodos matriciales firmados en resultados teóricos como el algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan, el teorema de Cramer, el teorema de Kronecker-Capelli. Se introdujo también métodos iterativos clásicos como los de Jacobi-Richardson, Gauss-Seidel, factorización de Cholesck, el método SOR, métodos iterativos de los gradientes conjugados, así como métodos gráficos. En este artículo se presenta una alternativa metodológica innovadora denominada contracción dimensional sistemática, que no se fundamenta en matrices: busca, entre otras dinámicas, reducir, de forma sistemática, el número de incógnitas hasta que la respectiva resolución sea viable. En esta visión, se objetiva analizar la operacionalidad de este método de contracción dimensional sistemática en el estudio de ecuaciones y sistemas lineales, a partir de técnicas homogéneas. Para el efecto, este artículo se apoya en una pesquisa teórico-metodológica, de tipología explicativa, con procedimientos técnicos bibliográficos y que utiliza el método inductivo - deductivo. Así, fue construido la propuesta metodológica del método de contracción dimensional sistemática y aplicado para la obtención de soluciones originales y exactas de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales, porque soluciones de esta naturaleza son condición necesaria para la construcción del producto vectorial homogéneo y, en general, de la Teoría Homogénea de los Espacios Vectoriales.
- português
Os sistemas lineares homogéneos integram propriedades especiais que os diferenciam dos demais sistemas lineares e permitem simplificar a busca por soluções que, em certas condições, promovem soluções gerais de até sistemas heterogéneos e sistemas não lineares, daí a sua crucial importância na Matemática, ciências afins e na Engenharia. Desde os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática da China Antiga a autores como SekiKowa, Leibniz, Cayley, Silvester, Bôcher, a resolução dos sistemas lineares passou a contar com métodos matriciais firmados em resultados teóricos como o algoritmo de eliminação de Gauss-Jordan, o teorema de Cramer, o teorema de Kronecker-Capelli. Introduziu-se, também, métodos iterativos clássicos como os de Jacobi-Richardson, Gauss-Seidel, factoração de Cholesck, o método SOR, métodos iterativos dos gradientes conjugados, assim como métodos gráficos. Contudo, este artigo apresenta uma alternativa metodológica inovadora denominada contracção dimensional sistemática, que não se funda em matrizes: visa, entre outras dinâmicas, reduzir, de forma sistemática, o número de incógnitas até que a respectiva resolução seja viável. Nesta visão, objectiva-se analisar a operacionalidade deste método de contracção dimensional sistemática no estudo de equações e sistemas lineares, a partir de técnicas homogéneas. Para o efeito, este artigo serve-se de uma pesquisa teórico-metodológica, de tipologia explicativa, com procedimentos técnicos bibliográficos e que utiliza o método indutivo - dedutivo. Assim, foi construído o método de contracção dimensional sistemática e aplicado para a obtenção de soluções originais e exactas de sistemas homogéneos de equações lineares, porque soluções desta natureza são condição necessária para a construção do produto vectorial homogéneo e, em geral, da Teoria Homogénea dos Espaços Vectoriais.
- English
Homogeneous linear systems integrate special properties that differentiate them from other linear systems and allow to simplify the search for solutions that, under certain conditions, promote general solutions of even heterogeneous systems and non-linear systems, hence their crucial importance in Mathematics, related sciences and in Engineering. From the Nine Chapters on the Mathematical Art of Ancient China to authors such as Seki Kowa, Leibniz, Cayley, Silvester, Bôcher, the resolutions of linear systems started to rely on matrix methods based on theoretical results such as the Gauss-Jordan elimination algorithm, Cramer's theorem, the Kronecker-Capelli theorem. Classic iterative methods such as Jacobi-Richardson, Gauss-Seidel, Cholesck factorization, the SOR method, conjugate gradient iterative methods, as well as graphical methods were also introduced. However, this article presents an innovative methodological alternative called systematic dimensional contraction, which is not based on matrices: it aims, among other dynamics, to systematically reduce the number of unknowns until the respective resolution is viable. In this view, the objective is to analyze the operability of this method of systematic dimensional contraction in the study of equations and linear systems, using homogeneous techniques. For this purpose, this article makes use of a theoretical-methodological research, of an explanatory typology, with bibliographic technical procedures and that uses the inductive-deductive method. Thus, the methodologic proposal for a systematic dimensional contraction method was constructed and applied to obtain original and exact solutions of homogeneous systems of linear equations, because solutions of this nature are a necessary condition for the construction of the homogeneous vector product and, in general, of the homogeneous theory of Vector Spaces.
