Resumen de Aplicación en combinatoria de las representaciones de grupos
- español
El objetivo de este artículo es presentar una aplicación del álgebra en la combinatoria. Trataremos la teoría algebraica de representaciones de grupos, que se utiliza en multitud de áreas de las matemáticas (geometría diferencial, análisis armónico, teoría de números…) o incluso en física teórica. Nosotros la utilizaremos en la combinatoria, asociando conceptos algebraicos con conceptos combinatorios. Esto permite probar resultados combinatorios a través de los resultados algebraicos correspondientes. En particular, usaremos la teoría presentada para probar una igualdad combinatoria.
Al igual que en muchas otras partes del álgebra, nos interesará descomponer los objetos (en este caso representaciones) en sus componentes irreducibles. Tendremos el típico resultado de existencia y unicidad y presentaremos herramientas para el cálculo práctico de una descomposición. Por último, construiremos las representaciones irreducibles del grupo simétrico $\mathcal{S}_n$, que están ligadas a objetos combinatorios.
- English
The main goal of this article is to introduce an algebraic application in combinatorics. We will deal with the algebraic group representation theory, used over many branches of mathematics (differential geometry, harmonic analysis, number theory...) or even theoretical physics. We will use it in the context of combinatorics, linking algebraic concepts with combinatorial concepts. This allows to prove some combinatorics results through their algebraic analogues. Specifically, we will use this theory to prove a combinatorial equality.As in other parts of algebra, it is interesting to decompose the objects (representations) into their irreducible components. We will prove typical results about existence and uniqueness and we will present some tools to decompose representations. Finally, we will construct the irreducible representations of the symmetric group $\mathcal{S}_n$, which are closely related to combinatorial objects.
