En esta nota anunciamos los resultados de nuestra investigación sobre las propiedades Lp de operadores pseudodiferenciales multilineales periódicos y/o discretos. Primero, revisaremos el análisis multilineal de tales operadores mostrando versiones análogas de los teoremas clásicos disponibles en el análisis multilineal euclidiano (debidos a Coifman y Meyer, Tomita, Miyachi, Fujita, Grafakos, Tao, etc.), pero, en el contexto de operadores periódicos y/o discretos. Se caracterizará la s-nuclearidad, 0 < s ≤ 1, para operadores multilineales pseudodiferenciales periódicos y/o discretos. Para cumplir este objetivo se clasificarán aquellos operadores lineales s-nucleares, 0 < s ≤ 1, multilineales con núcleo, sobre espacios de Lebesgue arbitrarios definidos en espacios de medida σ-finitos. Finalmente, como aplicación de los resultados presentados se obtiene la versión periódica de la desigualdad de Kato-Ponce, y se examina la s-nuclearidad de potenciales de Bessel lineales y multilineales, como también la s-nuclearidad de operadores integrales de Fourier periódicos admitiendo símbolos con tipos adecuados de singularidad.
In this note we announce our investigation on the Lp properties for periodic and discrete multilinear pseudo-differential operators. First, we review the periodic analysis of multilinear pseudo-differential operators byshowing classical multilinear Fourier multipliers theorems (proved by Coifman and Meyer, Tomita, Miyachi, Fujita, Grafakos, Tao, etc.) in the context of periodic and discrete multilinear pseudo-differential operators. For this, we use the periodic analysis of pseudo-differential operators developed by Ruzhansky and Turunen. The s-nuclearity, 0 < s ≤ 1, for the discrete and periodic multilinear pseudo-differential operators will be investigated. To do so, we classify those s-nuclear, 0 < s ≤ 1, multilinear integral operators on arbitrary Lebesgue spaces defined on σ-finite measures spaces. Finally, we present some applications of our analysis to deduce the periodic Kato-Ponce inequality and to examine the s-nuclearity of multilinear Bessel potentialsas well as the s-nuclearity of periodic Fourier integral operators admitting suitable types of singularities.
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