Complete solutions of the Hamilton-Jacobi equation and the envelope method

• Autores: Gerardo Francisco Torres del Castillo, G.S. Anaya González
• Localización: Revista Mexicana de Física, ISSN-e 0035-001X, Vol. 60, Nº. 6, 2014, págs. 414-418
• Idioma: inglés
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• Resumen
  • español

    Se muestra que los parámetros contenidos en cualesquier dos soluciones completas de la ecuación de Hamilton�Jacobi, correspondiente a una hamiltoniana dada, están relacionados por medio de una transformación canónica independiente del tiempo y que, en algunos casos, una función generatriz de esta transformación está dada por la envolvente de una familia de superficies definida por la diferencia de las dos soluciones completas. Recíprocamente, en esos casos, una de las soluciones completas esta dada por la envolvente de una familia de superficies definida por la suma de la otra solución completa y la función generatriz de la transformación canónica. Se dan también algunas aplicaciones de estos resultados en la óptica geométrica.

  • English

    It is shown that the parameters contained in any two complete solutions of the Hamilton-Jacobi equation, corresponding to a given Hamiltonian, are related by means of a time-independent canonical transformation and that, in some cases, a generating function of this transformation is given by the envelope of a family of surfaces defined by the difference of the two complete solutions. Conversely, in those cases, one of the complete solutions is given by the envelope of a family of surfaces defined by the sum of the other complete solution and the generating function of the canonical transformation. Some applications of these results to geometrical optics are also given.