Acerca de la formación de patrones de Turing bajo consideraciones probabilisticas

• Autores: Diego Alexander Garzón-Alvarado, Angélica María Ramírez Martínez, Carlos Alberto Duque Daza
• Localización: Ingeniería y universidad, ISSN 0123-2126, Vol. 16, Nº. 2, 2012, págs. 471-484
• Idioma: español
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• Resumen
  • español

    Este artículo presentan varios ensayos numéricos sobre las ecuaciones de reacción-difusión en el espacio de Turing, bajo el mecanismo de reacción de Schnakenberg. El objetivo es obtener los patrones de cada coeficiente de la expansión en polinomios de caos.

    Los ensayos se realizan en 2D sobre cuadrados unitarios, a los cuales se les imponen condiciones iniciales aleatorias y condiciones de Neumann nulas sobre el contorno. Los parámetros que definen el comportamiento de las ecuaciones se modelan como campos estocásticos; específicamente, se utilizan la difusión y los parámetros reactivos como valores de tipo aleatorio. Por lo tanto, se combina el método estándar de elementos finitos con Newton-Raphson con el método de los elementos finitos estocásticos espectrales. Los parámetros de cada ecuación se describen mediante la expansión de Karhunen-Loève, mientras que la incógnita se representa mediante la expansión de los polinomios de caos.

    Los resultados muestran la versatilidad del método para solucionar diferentes problemas físicos. Además, se logra la descripción estadística de la solución.

    Para los coeficientes estocásticos de la incógnita, los resultados muestran patrones complejos que mezclan bandas y puntos, los cuales no se pueden predecir desde la dinámica del sistema.

  • English

    In this paper we present several numerical tests on reaction-diffusion equations in the space of Turing, under the Schnakenberg reaction mechanism. The objectivge is to obtain the patterns of each coefficient of expansion in chaos polynomials.

    The tests were performed on 2D unit square, to which random initial conditions and Neumann zero conditions on the boundary were imposed.The parameters that define the behavior of the equations, more specifically the diffusion and reactive parameters, are modeled as stochastic fields.Thus, the standard method of finite element with Newton-Raphson was combined with the spectral stochastic finite element method. The parameters of each equation are described by Karhunen-Loève expansion, while the unknown is represented by the expansion of the polynomials of chaos.

    The results show the versatility of the method to solve different physical problems. Furthermore, it achieves statistical description of the solution.

    The results for the unknown stochastic coefficients, show complex patterns that mix bands and points which can not be predicted from the dynamics of the system.

  • português

    Este artigo apresenta vários testes numéricos sobre equações de reaçãodifusão no espaço de Turing no âmbito do mecanismo de reação Schnakenberg.

    O objetivo é a obtenção de padrões de cada coeficiente de expansão em polinômios de caos. Os ensaios foram realizados em 2D sobre quadrados unitários, aos que são impostas condições iniciais aleatórias e condições de Neumann nulas no contorno. Os parâmetros que definem o comportamento das equações são modelados como campos estocásticos, especificamente utilizando difusão e parâmetros reagentes como valores de tipo aleatório. Por conseguinte, combina-se o método padrão de elementos finitos com Newton-Raphson com o método de elementos finitos estocásticos espectrais. Os parâmetros de cada equação são descritos mediante a expansão de Karhunen-Loève, ao passo que a incógnita é representada pela expansão dos polinômios de caos. Os resultados mostram a versatilidade do método para resolver variados problemas físicos. Além disso, consegue-se a descrição estatística da solução. Para os coeficientes estocásticos da incógnita, os resultados mostram padrões complexos que misturam bandas e pontos, o que não pode ser predito a partir da dinâmica do sistema.