Obtaining a 3D extension of Pascal theorem for non-degenerated quadrics and its complete configuration with the aid of a computer algebra system

• Autores: Eugenio Roanes Macías, Eugenio Roanes Lozano, Julio Fernández Biarge
• Localización: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A: Matemáticas ( RACSAM ), ISSN-e 1578-7303, Vol. 103, Nº. 1, 2009, págs. 93-109
• Idioma: inglés
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• Resumen
  • español

    El teorema clásico de Pascal afirma: "los tres puntos de intersección de lados opuestos de una línea hexagonal cerrada, inscrita en una cónica no degenerada, son colineales". Se considera la siguiente extensión a 3D del teorema de Pascal: "dada una línea decagonal cerrada, inscrita en una cuádrica no degenerada, cuyos lados opuestos sean secantes, los cinco puntos de intersección de lados opuestos son coplanarios". (Se considera una línea poligonal de 10 lados, porque 10 - 1 puntos determinan una cuádrica, del mismo modo que 6-1 puntos determinan una cónica). Obviamente, en esta extensión a 3D del teorema de Pascal algunos vértices de la línea poligonal no pueden ser libremente elegidos, pero se ha encontrado una propiedad interesante: las cinco líneas diagonales que pasan por vértices opuestos de la poligonal son concurrentes en un punto. Esta propiedad conduce a un método sencillo para generar la configuración. Aun más, se determinan las condiciones de existencia de la configuración y se describe en detalle su configuración completa. Como al introducir coordenadas aparecen expresiones extensas, se ha desarrollado un paquete sobre un sistema de cómputo algebraico, que ayuda a determinar la configuración y a generarla automáticamente. Presentado por / Submitted by José Javier Etayo Miqueo.

  • English

    Pascal's classic theorem states that: "the three intersection points of opposite sides of a closed hexagonal line, inscribed in a nondegerated conic, are collinear". The following extension of Pascal theorem to 3D is considered: "given a closed decagonal line, inscribed in a nondegerated quadric, whose opposite side-lines are secant, the five intersection points of opposite side-lines are coplanary". (A polygonal line with 10 sides is considered, because 10 - 1 points determine a quadric, as 6 - 1 points determine a conic). Obviously, in this extension to 3D of Pascal theorem some vertices of the polygonal line can not be freely chosen, but an interesting property has been found: the five diagonal lines passing through opposite vertices share a point. This property leads to a simple method to generate the configuration. Moreover, conditions of existence of this configuration are determined and the so called complete configuration is also described in detail. As large expressions appear when coordinates are used, we have developed a package on a computer algebra system that helps us to find and to automatically generate this configuration.