Resumen de Probabilistic representation and uniqueness results for measure-valued solutions of transport equations
- English
The Cauchy problem for a multidimensional linear non-homogeneous transport equation in divergence form is investigated. An explicit and an implicit representation formulas for the unique solution of this transport equation in the case of a regular vector field v are proved. Then, together with a regularizing argument, these formulas are used to obtain a very general probabilistic representation for measure-valued solutions in the case when the initial datum is a measure and the involved vector field is no more regular, but satisfies suitable summability assumptions w.r.t. the solution. Finally, uniqueness results for solutions of the initial-value problem are derived from the uniqueness of the characteristic curves associated to v through the theory of the probabilistic representation previously developed.
- français
Dans cet article on s'intéresse au problème de Cauchy associé à une équation de transport linéaire non homogène multidimensionnelle sous forme divergence. Nous démontrons tout d'abord deux formules de représentation, l'une explicite, la seconde implicite, de l'unique solution de cette équation de transport dans le cas d'un champ de vecteurs régulier v. Puis dans un deuxième temps, nous utilisons ces formules et un argument de régularisation pour obtenir une représentation probabiliste très générale des solutions de type mesure de cette équation dans le cas où la condition initiale est une mesure et pour un champ de vecteurs qui peut être non régulier mais qui satisfait par rapport à la solution à des hypothèses de sommabilité convenables. Enfin, l'unicité des courbes caractéristiques associées au champ de vecteurs v obtenue par la théorie de la représentation probabiliste que nous développons, nous permet d'obtenir des résultats d'unicité pour le problème de Cauchy.
