A variational approach to the reconstruction of cracks by boundary measurements

• Autores: Luca Rondi
• Localización: Journal des mathématiques pures et appliqués, ISSN 0021-7824, Vol. 87, Nº. 3, 2007, págs. 324-342
• Idioma: inglés
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• Resumen
  • English

    We consider a conducting body which presents some (unknown) perfectly insulating defects, such as cracks or cavities, for instance. We aim to reconstruct the defects by performing measurements of current and voltage type on a (known and accessible) part of the boundary of the conductor. A crucial step in this reconstruction is the determination of the electrostatic potential inside the conductor, by the electrostatic boundary measurements performed. Since the defects are unknown, we state such a determination problem as a free-discontinuity problem for the electrostatic potential in the framework of special functions of bounded variation. We provide a characterisation of the looked for electrostatic potential and we approximate it with the minimum points of a sequence of functionals, which take also in account the error in the measurements. These functionals are related to the so-called Mumford¿Shah functional, which acts as a regularizing term and allows us to prove existence of minimizers and G-convergence properties.

  • français

    On considère un corps conducteur qui présente des défauts (inconnus) parfaitement isolants, comme par exemple des fissures ou des cavités. On voudrait reconstituer les défauts en effectuant des mesures de type courant et tension sur une partie (connue et accessible) du bord du conducteur. Un pas crucial dans cette reconstitution est la détermination du potentiel électrostatique à l'intérieur du conducteur par les mesures électrostatiques effectuées au bord. Comme les défauts sont inconnus, on formule ce problème de détermination comme un problème aux discontinuités libres dans l'espace des fonctions spéciales à variation bornée. On donne une caractérisation du potentiel électrostatique en question et on l'approche avec les minimiseurs d'une suite de fonctionnelles, qui tiennent aussi compte des erreurs dans les mesures. Ces fonctionnelles sont liées à la fonctionnelle de Mumford¿Shah, qui agit comme un terme régularisant et permet de démontrer l'existence de minimiseurs et les propriétés de G-convergence.