Resumen de Una perspectiva histórica de las series de Fourier: de las ecuaciones de ondas y del calor a los operadores compactos y autoadjuntos

Antonio Cañada Villar

• español

  Uno de los problemas del que se ocuparon los matemáticos del siglo XVIII es el "problema de la cuerda vibrante". Éste fue estudiado por D¿Alembert, Euler y un poco más tarde, en 1753, por Daniel Bernoulli. La solución dada por éste consistió en expresarla como superposición de ondas sencillas. Sus ideas fueron aplicadas y perfeccionadas por Fourier, en 1807, en el estudio de la conducción del calor. Quedaron escritas en la obra "Théorie analytique de la Chaleur", publicada en 1822. Los razonamientos de Fourier plantearon controversias y cuestiones que han influido en la historia de la Matemática. Aquí comentamos algunas de ellas, tales como la existencia de funciones continuas no derivables, teoría de conjuntos de Cantor y nociones de la integral de Cauchy, Riemann y Lebesgue. Tratamos además la presentación actual de las series de Fourier. Finalmente comentamos el papel jugado en este siglo por el Análisis Funcional para situar a las series de Fourier en su marco abstracto

• English

  One of the problems worked on by eighteenth century mathematicians is the "vibrant cord problem". This was studied by D¿Alembert, Euler and shortly after in 1753, by Daniel Bernoulli. The solution provided by the last consisted in expressing it as a superposition of simple waves. His ideas were applied and improved by Fourier in 1807 in the study of heat conduction. They were written in the work "Théorie analytique de la Chaleur" published in 1822. Reasoning by Fourier exposed controversies and questions that have influenced the history of Mathematics. Here we comment some of them, such as the existence of continuous non-derived functions, Cantor¿s compound theory and notions of the integral by Cauchy, Riemann and Lebesgue. We also handled the current presentation of the series by Fourier. Finally, we commented on the role played in this century by Functional Analysis in placing Fourier¿s series within its abstract framework.

• français

  Parmi les problèmes sur lesquels se sont penchés les mathématiciens du XVIIIème siècle, se trouve « le problème de la corde vibrante ». Ce problème a été analysé par d'Alambert, par Euler, et un peu plus tard, en 1753, par Daniel Bernoulli. La solution proposée par ce dernier consistait à exprimer cette question sous la forme de superposition d'ondes simples. Ses idées furent appliquées puis perfectionnées par Fourier en 1807, dans le cadre de son étude sur la conduction de la chaleur. Ses résultats ont été publiés par la suite, en 1822, sous le titre :« Théorie analytique de la chaleur ». Les raisonnements de Fourier donnèrent lieu à nombre de controverses et soulevèrent un certain nombre de questions qui devaient influencer par la suite l'histoire des Mathématiques. Nous souhaitons ici commenter certaines de ces questions, comme l'existence de fonctions continues non-dérivables, la théorie des ensembles de Cantor, ainsi que les notions de l'intégrale de Cauchy, Riemann et Lebesgue. Nous nous pencherons encore sur la forme sous laquelle se présentent actuellement les séries de Fourier. Pour terminer, nous examinerons le rôle qu'a pu jouer au cours de ce siècle l'Analyse Fonctionnelle pour parvenir à situer les séries de Fourier dans le cadre abstrait qui leur correspond.

• português

  Um dos problemas que ocuparam a atenção dos matemáticos do século XVIII é o ¿problema da corda vibrante.¿ Este problema foi estudado por d¿Alembert, Euler e, um pouco mais tarde, em 1753, por Daniel Bernoulli. A solução dada por este último consistiu em defini-la como a superposição de ondas simples. Suas idéias foram aplicadas e aperfeiçoadas por Fourier, em 1807, no estudo da condução do calor. Ficaram registradas na obra ¿Théorie Analytique de la Chaleur¿, publicada em 1822. Os raciocínios de Fourier levantaram controvérsias e questões que influenciaram a história da Matemática. Aqui comentamos algumas delas, tais como a existência de funções contínuas não deriváveis, a teoria de conjuntos de Cantor e noções da integral de Cauchy, Riemann e Lebesgue. Além disso, tratamos a apresentação atual das séris de Fourier. Finalmente, comentamos o papel desempenhado neste século pela Análise Funcional, para situar as séries de Fourier em seu marco abstrato.