Denseness of norm attaining mappings

• Autores: María Dolores Acosta Vigil
• Localización: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A: Matemáticas ( RACSAM ), ISSN-e 1578-7303, Vol. 100, Nº. 1-2, 2006 (Ejemplar dedicado a: Geometría de los Espacios de Banach), págs. 9-30
• Idioma: inglés
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  • español

    El Teorema de Bishop-Phelps afirma que para cualquier espacio de Banach X, el conjunto de los funcionales (lineales y continuos) que alcanzan la norma es denso en el dual. En el caso complejo, Lomonosov dio ejemplos de conjuntos convexos, cerrados y acotados C, tales que el conjunto de los funcionales cuyo m¿aximo se alcanza en C no es denso en el dual. Este trabajo contiene diversas versiones del Teorema de Bishop-Phelps para operadores, formas multilineales y polinomios. Lindenstrauss dio ejemplos de dos espacios de Banach X e Y tales que el conjunto de operadores de X en Y que alcanzan la norma no es denso en el correspondiente espacio de operadores. Dio tambi¿en condiciones isom¿etricas suficientes para que un espacio X verifique la densidad del conjunto de operadores de X en Y que alcanzan la norma para cualquier espacio de Banach Y . Si X verifica esta ¿ultima condici¿on para todo espacio Y se dice que X verifica la propiedad A. Existen condiciones suficientes para que un espacio de Banach Y tenga la propiedad B (esto es, cualquier operador de X en Y se pueda aproximar por operadores que alcanzan la norma, para cualquier X). Bourgain demostr¿o que la propiedad de Radon- Nikod¿ym es una condici¿on suficiente para la propiedad A. Para espacios de Banach cl¿asicos, destacamos los siguientes resultados: C[0; 1], `p (1 < p < 1) y cualquier espacio L1(¹) que sea de dimensi¿on infinita, no verifican la propiedad B (resultados de Schachermayer, Gowers y Acosta, respect.). Cuando los dos espacios X e Y son ambos, o bien de tipo C(K) o L1(¹), se sabe que hay resultados positivos (gracias a Johnson y Wolfe, y a Iwanik, respectivamente). Finet y Pay¿a probaron que para X = L1 y Y = L1 tambi¿en se verifica un resultado positivo. En el caso multilineal, Aron, Finet y Werner plantearon el problema an¿alogo para formas multilineales y dieron condiciones suficientes (por ejemplo la propiedad de Radon-Nikod¿ym) para que un espacio de Banach X verifique la densidad de las formas N-lineales que alcanzan su norma en el correspondiente espacio de todas las formas N-lineales. Choi prob¿o que el espacio L1[0; 1] no verifica una versi¿on del Teorema de Bishop-Phelps para formas bilineales. Alaminos, Choi, Kim y Pay¿a demostraron que para cualquier espacio compacto disperso K, el conjunto de las formas N-lineales que alcanzan su norma en C(K) es denso en el espacio de las formas N-lineales en C(K). Para formas bilineales, el mismo resultado es v¿alido para cualquier compacto K. Acosta, Garc¿ia y Maestre han probado que, para cualesquiera N espacios de Banach, el conjunto de las formas N-lineales que verifican que (todas) sus extensiones de Arens al producto de los biduales alcanzan la norma es denso en el espacio de todas las formas N- lineales. Para polinomios y funciones holomorfas, hay algunos resultados en las misma l¿inea, pero m¿as problemas abiertos que en el caso multilineal.

  • English

    The Bishop-Phelps Theorem states that the set of (bounded and linear) functionals on a Banach space that attain their norms is dense in the dual. In the complex case, Lomonosov proved that there may be a closed, convex and bounded subset C of a Banach space such that the set of functionals whose maximum modulus is attained on C is not dense in the dual. This paper contains a survey of versions for operators, multilinear forms and polynomials of the Bishop-Phelps Theorem. Lindenstrauss provided examples of Banach spaces X and Y such that the set of norm attaining operators from X to Y is not dense. He also gave isometric conditions on X for which the set of norm attaining operators from X to Y are dense in the space of all operators between these Banach spaces. If the above conclusion holds for every Y , X is said to have the property A. Also, there are known sufficient conditions on the range space Y in order to have the same denseness conditions for every X. In such a case, Y has the property B. Bourgain proved that every space satisfying the Radon-Nikod¿ym property has the property A. For classical Banach spaces, it is known that C[0; 1], `p (1 < p < 1) and any infinite-dimensional L1(¹) do not satisfy the property B (results due to Schachermayer, Gowers and Acosta, respectively).

    When both X and Y are either C(K) or L1(¹), there are positive results due to Johnson and Wolfe, and Iwanik, respectively. Finet and Pay¿a proved that there is also positive result for X = L1 and Y = L1.

    For multilinear mappings, Aron, Finet andWerner initiated the research and gave sufficient conditions on a Banach space X in order to satisfy the denseness of the set of norm attaining N-linear mappings in the set of all the N-linear mappings (Radon-Nikod¿ym property, for instance). Choi showed that the space L1[0; 1] does not satisfy the denseness of the set of norm attaining bilinear forms. Alaminos, Choi, Kim and Pay¿a proved that for any scattered compact space K, the set of norm attaining N-linear forms on C(K) is dense in the space of all N-linear forms, and for the bilinear case no restriction on the compact is needed. Acosta, Garc¿ýa and Maestre proved that the set of N-linear forms whose Arens extensions to the bidual attains the norm is dense in the space of all the N-linear forms on a product of N Banach spaces. For polynomials and for holomorphic mappings, there are some results along the same line, but more open problems than for the multilinear case.