Cálculo de orden no entero aplicado en Mecánica Cuántica: Partícula en un pozo de potencial finito unidimensional

• Autores: Joel Elías Escudero Gómez, Ernesto Alejandro Mendoza Álvarez, Guillermo Fernández Anaya, José Job Flores Godoy, Leo Diago Cisneros
• Localización: Nova scientia, ISSN-e 2007-0705, Vol. 16, Nº. 33, 2024 (Ejemplar dedicado a: Current Issue, November 2024 - January 2025), págs. 1-14
• Idioma: español
• Títulos paralelos:
  • Non-Integer order calculation applied in Quantum Mechanics: Particle in a one-dimensional finite well
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    El cálculo fraccionario cobra hoy en día cada vez mayor importancia en el estudio y descripción de fenómenos físicos fundamentales, tanto simples como complejos, a través de la formulación de modelos generalizados. En el presente trabajo se desarrolla un tratamiento de orden no entero para el estudio de la función de onda que describe los estados accesibles de una partícula unidimensional confinada en un pozo de potencial finito con paredes finitas y constantes, empleando derivada conformable en la descripción de la evolución temporal de los estados del sistema y derivada fraccional de Caputo-Fabrizio en la descripción de su evolución espacial. Al graficar la solución fraccionaria completa ψ(x,t) para valores dados de los índices del Kernel α, β, γ, recuperamos las oscilaciones de frente de onda plana predichas por el cálculo de orden entero cuya superposición representa el estado de partícula con probabilidad uniforme en todo el espacio. Sin embargo, para otro rango de valores de los índices del núcleo de transformación integral se observan efectos de amortiguamiento que parecen no tener un significado físico mecánico cuántico en sí mismos, pero sí ser de un especial interés fisicomatemático, ya que dichos efectos están relacionados con la propia naturaleza del operador Caputo-Fabrizio, que como operador no local guarda memoria, esto es, los efectos no locales espaciales conllevan interacciones de largo alcance en una región física, por lo que la función de onda generalizada obtenida no depende exclusivamente de un punto del espacio,  sino de una región del espacio. Al calcular la densidad de probabilidad, la función de onda fraccionaria muestra una paridad definida cuando γ es unitaria, tal como esperaríamos para el caso de un pozo de potencial simétrico. El modelo generalizado obtenido al incorporar un mayor número de parámetros libres puede representar una formulación alternativa útil y apropiada en la descripción del comportamiento probabilístico de sistemas mecánico-cuánticos simples y complejos.

  • English

    Fractional calculus is becoming increasingly important nowadays in studying and understanding fundamental physical phenomena, both simple and complex, through the formulation of generalized models. In the present work, a treatment of non-integer order is developed for the study of the wave function that describes the accessible states of a one-dimensional particle confined in a finite well with finite and constant walls, using a conformable derivative in describing the temporal evolution of the states of the system and Caputo-Fabrizio fractional derivative in describing its spatial evolution. By plotting the complete fractional solution ψ(x,t)  for given values ​​of the Kernel indices α, β, γ, we recover the flat-wave front oscillations predicted by the integer-order calculation, whose superposition represents the particle state with uniform probability in all space. However, for another range of values ​​of the indices of the integral transformation, damping effects are observed, which do not seem to have a quantum mechanical physical meaning in themselves, but they do have a special physical-mathematical interest since such effects are related to the nature of the Caputo-Fabrizio operator, which as a non-local operator saves memory, that is, non-local spatial effects entail long-range interactions in a physical region, so the generalized wave function obtained does not depend exclusively on a point in space but on a region of space. When calculating the probability density, the fractional wave function shows a definite parity when γ is unitary, just as expected for a symmetric potential well. The generalized model obtained by incorporating a greater number of free parameters can represent an appropriate alternative formulation in the description of the probabilistic behavior of simple and complex quantum mechanical systems.

    Palabras clave: Ecuación de Schrödinger fraccional; Derivada fraccionaria de Caputo, derivada fraccionaria de Caputo-Fabrizio, derivada general conformable de Khalil.