Resumen de Polinomios ortogonales clásicos como herramienta pedagógica en análisis funcional y teoría espectral

Esteban Méndez Rodríguez

• español

  Este artículo analiza los polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite como vectores propios de operadores diferenciales autoadjuntos definidos en espacios de Hilbert del tipo ???? 2 L 2 , con el fin de fortalecer su comprensión en contextos educativos avanzados. A partir de la formulación de sus respectivas ecuaciones diferenciales como problemas de Sturm-Liouville, se identifican los componentes estructurales que permiten su interpretación espectral: funciones peso, dominios, autovalores y ortogonalidad. Esta visión unificadora permite presentar dichos polinomios no solo como soluciones formales, sino como herramientas pedagógicas útiles para explicar conceptos clave del análisis funcional, como ortogonalidad, espectros discretos y bases completas. El enfoque adoptado combina rigurosidad matemática con recursos visuales y comparativos que facilitan su incorporación en la enseñanza de cursos superiores de matemáticas y física. Se concluye que la interpretación espectral de estos sistemas polinomiales puede contribuir significativamente a mejorar la comprensión conceptual de los estudiantes, conectando contenidos de álgebra lineal, ecuaciones diferenciales y espacios funcionales. Finalmente, se propone su integración como recurso didáctico en programas de formación matemática universitaria, potenciando aprendizajes significativos en torno a estructuras abstractas.

• English

  This article analyzes Legendre, Laguerre, and Hermite polynomials as eigenfunctions of self-adjoint differential operators defined on Hilbert spaces of the type , with the goal of strengthening their conceptual understanding in advanced educational settings. By reformulating their differential equations as Sturm–Liouville problems, we identify the structural components that allow for a spectral interpretation: weight functions, domains, eigenvalues, and orthogonality. This unified framework presents these polynomials not only as formal solutions but also as pedagogical tools to explain key concepts in functional analysis, such as orthonormality, discrete spectra, and complete bases. The approach combines mathematical rigor with visual and comparative resources to support their integration into the teaching of upper-level mathematics and physics courses. It is concluded that the spectral interpretation of these polynomial systems can significantly enhance students' conceptual comprehension by connecting topics from linear algebra, differential equations, and functional spaces. The study proposes their inclusion as didactic resources in university-level mathematics education, promoting meaningful learning around abstract structures.