Monotonicity and Convergence in the Collatz Conjecture: A New Perspective

• Wells Abascal , Guillermo ^[1] ; Zavala Raus, Angel Gabriel ^[1]
  1. [1] Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

     Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

     México

     
• Localización: Ciencia Latina: Revista Multidisciplinar, ISSN-e 2707-2215, ISSN 2707-2207, Vol. 8, Nº. 6, 2024, págs. 11770-11779
• Idioma: español
• Títulos paralelos:
  • Monotonicidad y Convergencia en la Conjetura de Collatz: Una Nueva Perspectiva
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• Resumen
  • español

    The Collatz conjecture declares that every positive integer will eventually reach 1 when subjected to a simple iterative process: if the number is even, it is divided by 2, and if it is odd, it is multiplied by 3 and then increased by 1. Despite the straightforward nature of these rules, a general proof of the conjecture remains elusive. For the above, this study introduces an alternative interpretation of the conjecture. This approach involves multiplying an odd integer N1 by 3 and subsequently adding the largest power-of-2 factor within N1. Repeated iterations of this alternative process show that any initial odd integer N1 will eventually convert into a power of 2, leading the sequence towards convergence. The behavior of the sequence was studied by representing the resulting integers as a power of 2 multiplied by an odd component. Using this representation under the modified rules, we developed a structured proof framework that demonstrates the consistent reduction of the odd component’s relative value after each iteration, the accelerated increase of the power-of-2 factor’s relative value, and the absence of any divergent cycles or alternative behaviors. This analysis provides insights into the mechanics of convergence in the Collatz sequence and proposes a new perspective for understanding the conjecture’s underlying dynamics.

  • English

    La conjetura de Collatz establece que todo entero positivo llegará a ser 1 si es sometido a un proceso iterativo simple: si el número es par, se divide entre 2, y si es impar, se multiplica por 3 y luego se suma 1. A pesar de la naturaleza sencilla de estas reglas, no se ha podido demostrar de manera general la conjetura. Por lo anterior, este estudio presenta una interpretación alternativa de la conjetura. Este enfoque implica multiplicar un entero impar N1 por 3 y, posteriormente, sumar el factor-potencia de 2 más grande de N1. Al repetir este proceso iterativo, cualquier entero impar inicial N1 se convertirá eventualmente en una potencia de 2, lo que lleva la secuencia hacia la convergencia. Se estudió el comportamiento de la secuencia representando los números enteros resultantes como una potencia de 2 multiplicada por un componente impar. Utilizando esta representación bajo las reglas modificadas, desarrollamos un procedimiento que demuestra la reducción consistente del valor relativo del componente impar después de cada iteración, el aumento acelerado del valor relativo del factor-potencia de 2 y la ausencia de ciclos divergentes o comportamientos alternativos. Este análisis proporciona información sobre la mecánica de la convergencia en la secuencia de Collatz y propone una nueva perspectiva para comprender el comportamiento subyacente de la conjetura.