Cálculo de órbitas periódicas mediante la Teoría del Promedio

• Rolón Machuca, María del Carmen ^[1]
  1. [1] Universidad Nacional de Asunción

     Universidad Nacional de Asunción

     Paraguay

     
• Localización: Reportes Científicos de la FACEN, ISSN-e 2222-145X, ISSN 2078-399X, Vol. 15, Nº. 1, 2024 (Ejemplar dedicado a: Reportes Científicos de la FACEN), págs. 44-49
• Idioma: español
• Títulos paralelos:
  • Calculation of periodic orbits through the Averaging Theory
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  • español

    Un equilibrio cero-Hopf en ℝ3 es un punto de equilibrio aislado cuyos valores propios son un par de valores puramente imaginarios y el valor propio cero. Para tal equilibrio, se estudió una teoría general para saber cuándo a partir de este equilibrio se bifurcan órbitas periódicas de pequeña amplitud al mover los parámetros del sistema, esta teoría es conocida como la teoría del promedio. La aplicación de promedios convierte el problema de encontrar órbitas periódicas de los sistemas diferenciales, en encontrar ceros de algunas funciones adecuadas de dimensión tres, además de proporcionar estimaciones analíticas de la forma de estas órbitas periódicas. Aquí se muestra la manera de calcular órbitas periódicas a partir de puntos de equilibrio cero-Hopf utilizando la teoría del promedio. En particular, primero se da la caracterización de los valores de los parámetros para los cuales el punto de equilibrio cero-Hopf tiene lugar en los sistemas Rössler, y se encuentra dos familias de parámetros que exhiben tales equilibrios, de una de ellas se estudia la demostración de la existencia de una órbita periódica bifurcada desde el equilibrio cero-Hopf, para ello, se da la prueba de dos teoremas principales que sustentan la demostración del teorema, que proporciona una aproximación de primer orden para soluciones periódicas de un sistema diferencial periódico.

  • English

    A zero-Hopf equilibrium in ℝ3 is an isolated equilibrium point whose eigenvalues are a pair of purely imaginary values and zero, properly. We study a general theory to know when from the equilibrium bifurcates a periodic orbit of small width moving the parameters of the system, this theory is known as the averaging theory. This technique of obtaining the averaging turns the finding of periodic orbits of the differential systems to finding zeros of some adequate functions of a third dimension, further providing analytic estimations about the shape of those periodic orbits. This paper shows the way to calculate periodic orbits bifurcating from the equilibrium points of zero-Hopf type, using the averaging theory. Particularly, first is given the characterization of the values of the parameters for which the zero-Hopf equilibrium point appears in the Rössler system, and are finding two parameters’ families that shown these equilibriums; from one of these families, is studied the existence of a bifurcated periodic orbit from the zero-Hopf equilibrium, for it, is given the proof of two main theorems that sustain the demonstration of the theorem, that provides an approximation of first-order for periodic solutions, for a periodic differential system.