Characters, correspondences and fields of values of finite groups
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Publication date
2016
Reading date
03-06-2016
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Abstract
Uno de los temas m as importantes en teor a de grupos fi nitos es el estudio
de la relaci ón entre los invariantes globales y locales de un grupo. Sea G
un grupo finito y p un primo. Los p-subgrupos de G son los subgrupos
de G cuyo orden es una potencia de p, y los subgrupos locales de G son los
normalizadores propios de p-subgrupos de G. Como paradigma de todo esto,
podemos citar un teorema cl ásico de Frobenius, que ha inspirado muchos
resultados recientes. Este teorema establece que un grupo G posee un p-
complemento normal si y s olo si cada uno de sus subgrupos locales tiene un
p-complemento normal.
En esta tesis, nuestra atenci ón se centra en el estudio de caracteres de
grupos fi nitos, tanto ordinarios (aquellos asociados a una representaci ón sobre
el cuerpo de los n umeros complejos) como modulares (aquellos asociados
a una representaci ón sobre un cuerpo de caracter stica p). Nos interesa especialmente
la relación entre los caracteres de un grupo G y los caracteres de
sus subgrupos locales. La conjetura de McKay es el ejemplo clave del tipo
de problemas en el que estamos interesados. Esta conjetura es un problema
central dentro de toda la teor a de representaciones y de caracteres de grupos
nitos. Si G es un grupo finito y p es un primo, la conjetura de McKay
a rma que tanto G como el normalizador de un p-subgrupo de Sylow de G
tienen el mismo número de caracteres irreducibles de grado no divisible por
p. Por tanto, predice la existencia de una biyecci ón entre tales conjuntos de
caracteres. Como hemos mencionado, nos interesa relacionar los caracteres de un
grupo G con los caracteres de sus subgrupos locales. La situaci ón es especialmente
atractiva cuando podemos establecer esa relaci ón a trav és de correspondencias
naturales. Quiz á, el ejemplo m ás representativo sea la correspondencia
de Glauberman. Conviene que aclaremos qu é entendemos cuando tildamos
una biyecci on de natural o can onica. Para ello, usaremos palabras de I.
M. Isaacs: "La palabra natural quiere decir
que la correspondencia se construye a trav és de un algoritmo y que el resultado
es independiente de cualquier elecci ón tomada al aplicar el algoritmo". Las biyecciones naturales no son meras biyecciones entre conjuntos,
es decir, tienen propiedades adicionales. Por ejemplo, esperamos que
conmuten con la acci ón del grupo absoluto de Galois sobre caracteres y con la acci ón de
ciertos automorfi smos de grupo. En este sentido, las biyecciones proporcionan m ás informaci ón a la hora de relacionar las estructuras global y
local del grupo.