Análisis de estabilidad de flujos viscosos e incompresibles de densidad estratificada mediante métodos numéricos de alto y bajo orden

Resumen

The present work deals with several types of fluid instabilities such as the Rayleigh-Taylor instability (RTI), Kelvin-Helmholtz instability (KHI), and Centrifugal instability (CTI) for incompressible, viscous and stratified density flows. Firstly, the computation of the spectrum of eigenvalues and eigenfunctions of linear problems derived from the RTI, KHI and CTI is performed by numerically solving the corresponding eigenvalue problem (EVP). Both the RTI and KHI are studied in one-dimensional (1D) and two-dimensional (2D) geometries, whereas the CTI is only analysed in 2D geometry. These canonic cases are extended to different versions where viscosity, surface tension and an stratified density distributions are added to the problem and the changes in the spectrum and the modal structure of the dominant modes is studied. The importance of extending the results to the two-dimensional case is twofold. First, it opens the possibility of generalizing the computation to more complex geometries that could contain fixed or floating bodies and second, allows the computation of flow instabilities of base flows which are particular solutions of the steady Navier-Stokes solutions. Secondly, for the RTI, it was found useful to study stability by using the initial value problem approach (IVP), as consequence we ensure the inclusion of certain continuum modes, otherwise neglected. This methodology includes a branch cut in the complex plane, consequently, in addition to discrete modes (surface RTI modes), a set of continuum modes (internal RTI modes) also appears. As a result, the usual information given by the normal mode analysis is now completed. Furthermore, a new role is found for surface tension, transforming surface RTI modes into internal RTI modes belonging to a continuous spectrum at a critical wavenumber. As a consequence, the cut-off wavenumber disappears: i.e. the growth rate of the RTI surface mode does not decay to zero at the cut-off wavenumber, as previous researchers used to believe. Finally, we found that the Rayleigh-Taylor instability exhibits essentially different time asymptotic behavior above and below the critical wavenumber. This thesis collects results from two publications (JCR), as well some original work. ----------RESUMEN---------- Este trabajo trata sobre sobre el estudio de varios tipos inestabilidades de fluidos como son la inestabilidad de Rayleigh-Taylor (RTI), la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz (KHI) y la inestabilidad Centrífuga (CTI), para flujos viscosos, incompresibles y de densidad estratificada. En primer lugar, se lleva a cabo el cálculo del espectro de autovalores y autofunciones del problema lineal asociado a la RTI, KHI y CTI resolviendo numéricamente el correspondiente problema de autovalores (EVP). La RTI y la KHI son estudiadas tanto en geometrías unidimensionales (1D) como bidimensionales (2D), mientras que la CTI es solo analizada en una geometría 2D. Estos problemas canónicos se extienden a diferentes versiones donde la viscosidad, tensión superficial y una distribución de densidad estratificada se añaden al problema, estudiándose los cambios en el espectro de autovalores y la estructura de los modos dominantes. La importancia de extender los resultados a un caso bidimensional es doble: se abre la posibilidad de generalizar el cálculo a geometrías más complejas que podrían contener cuerpos fijos o flotantes y permite el cálculo de inestabilidades de flujos base que son soluciones particulares de las ecuaciones de Navier-Stokes estacionarias. En segundo lugar, se ha encontrado útil plantear el estudio de estabilidad de un fluido como un problema de valor inicial (IVP). Como consecuencia, podemos asegurar la inclusión de ciertos modos que pertenecen a un espectro continuo que, mediante otro enfoque, hubiesen pasado desapercibidos. El planteamiento IVP muestra la existencia de un corte de ramificación de la perturbación en el plano complejo que estaría asociado a la existencia del espectro continuo de modos RTI internos y que se suma a la del espectro discreto de modos RTI superficiales. De esta forma, podemos decir que los resultados obtenidos por un enfoque EVP se ven complementados por los hallados mediante un planteamiento tipo IVP. Además, se ha encontrado un nuevo rol para la tensión superficial: transformar, para un número de onda crítico, los modos RTI superficiales en modos internos RTI. Consecuentemente, el número de onda de corte desaparece: i.e. la tasa de crecimiento de la inestabilidad de los modos RTI superficiales no alcanza el valor de cero en el mencionado número de onda de corte, como se solía creer. Finalmente, se encuentra que la RTI muestra diferentes comportamientos temporales asintóticos por encima y por debajo del valor del número de onda crítico.