Transformadas de Fourier y coeficientes de Fourier-Laguerre de distribuciones temperadas de soporte positivo

• Autores: Antonio José Durán Guardeño
• Directores de la Tesis: Juan Arias de Reyna Martínez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 1988
• Idioma: español
• Materias:
  • Matemáticas
    • Análisis y análisis funcional
      • Análisis global
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen

  • En la génesis de esta memoria, están los s iguientes problemas planteados en un determinado espacio de distribuciones:

    Sea ? una distribución temperada de soporte positivo.

    a) Consideramos el sistema ortonormal en L2 [0,+?) formado a partir de los polinomios de Laguerre (Ln(t) )n. Puesto que las funciones Ln(t) son de decrecimiento rápido en R+, podemos darle un sentido razonable y natural a (1), obteniendo unos coeficientes an asociados a cada distribución temperada de soporte positivo.

    a.1) ¿Se podrán caracterizar los coeficientes (an)n? a.2) ¿Será u = ?n anLn(t)X[0,+?) en el espacio de las distribuciones temperadas? b) Dado z ? C si Fz <0, la función f(t) = e-2mixt es de decrecimiento rápido en R+, en consecuencia se le puede dar un sentido similar a (1) a (2), definiéndose una función u~(z) en Fz<0.

    b.1) ¿Qué relación tendrá esta función con la transformada de Fourier de u? b.2) ¿Se podrán caracterizar las funciones u~ (z) así obtenidas? (por ejemplo en el sentido que aparece en [RUDIN] (1) para caracterizar las transformadas de Fourier de distribuciones de soporte compacto).

    Un problema similar al a) se puede encontrar en [SCHWARTZ. En el se considera el sistema ortonormal en L2®, formado por los polinomios de Hermite (Hn(t))n. Puesto que Hn(t) ? S, dada u ? S� podemos considerar an =. En este caso se obtiene de forma fácil (por las características de los polinomios de Hermite) que u=?n anHn(t)en S� y que u ? S� si sólo si (an)n es una sucesión acotada por una potencia de n, i.e. (an)n ? s�.

    También se pueden encontrar en [ZEMANIAN], desarrollos en serie para diversos sistemas ortonormales de elementos de ciertos espacios. Sin embargo, por la forma en que este autor define los espacios y sus topologías, éstos son poco reconocibles. Aquí se encuentran desarrollos en serie para elementos de un cierto espacio en el sistema ortonormal de Laguerre. Aunque no se sabe si estos desarrollos son válidos para distribuciones temperadas con soporte positivo, pues no se prueba que el espacio donde se hacen estos desarrollos contengan a estas distribuciones. También se pueden encontrar los desarrollos de SCHWARTZ antes citados para los polinomios de Hermite. En este caso, el autor sí remite a una prueba de que los desarrollos son válidos para las distribuciones temperadas. Es decir el espacio que el autor maneja coincide con S�.

    En cuanto al problema b), la función que se obtiene u~ a partir de u resulta ser analítica en Fz < 0. En cierta manera se intuye que la transformada de Fourier de u, û pudiera interpretarse como el �valor frontera� (en un cierto sentido) de la función u~. Esta idea puede relacionar el problema con los resultados de [TILLMANN], donde interpreta las distribuciones temperadas como los �valores frontera� de un cierto conjunto de funciones analíticas. Más adelante, veremos que esta relación existe.