Resumen de Operators and strong versions of sentential logics in Abstract Algebraic Logic
Hugo Cardoso Albuquerque
Aquesta dissertació presenta els resultats de la nostra recerca sobre alguns temes recents en Lògica Algebraica Abstracta (LAA), concretament, l'operador de Suszko, els filtres de Leibni, i les lògiques truth-equacionals. La interacció entre vàries nocións relacionades amb els operadors de Leibniz i de Suszko ens va portar a considerar un marc general basat en la noció de S-operador (inspirada en la de ''mapping compatible with S-filters''), que abasta els operadors de Leibniz, de Suszko, i de Frege, unificant així aquests tres operadors paradigmàtics de la LAA sota un mateix tractament. Aquest marc abstracte i general, quan s'aplica als operadors de Leibniz i de Suszko, origina noves nocións de filtre de Leibniz i de Suszko, com casos particulars. La primera generalitza a lògiques arbitràries la noció de filtre de Leibniz, existent per a lògiques protoalgebraiques, mentre que l'última s'introdueix aquí per primera vegada. A més, s'obtenen de manera natural diferents resultats, tant coneguts com nous, a dins d'aquest marc, un cop aplicats als operadors de Leibniz i de Suszko. Entre els principals resultats nous, provem un Teorema General de la Correspondència, que generalitza el conegut Teorema de la Correspondència de Blok i Pigozzi per a lògiques protoalgebraiques, així com el menys conegut Teorema de la Correspondència de Czelakowski per a lògiques arbitràries. Caracteritzem les lògiques protoalgebraiques en termes de l'operador de Suszko com aquelles on aquest operador commuta amb imatges inverses d'homomorfismes exhaustius. Caracteritzem les lògiques truth-equacionals en termes dels seus filtres de Suszko, en termes dels seus g-models plens, i en termes de l'operador de Suszko mateix, com les lògiques on aquest operador és una representació estructural del conjunt de S-filtres en el conjunt de congruències Alg(S)-relatives, per a àlgebres arbitràries; aquesta caracterització reforça la obtinguda per Raftery. Finalment, provem un nou Teorema d'Isomorfisme per a lògiques protoalgebraiques, en el mateix esperit que els famosos teoremes per lògiques algebritzables i per a lògiques feblement algebritzables. Dotats d'una noció de filtre de Leibniz aplicable a qualsevol lògica, podem generalitzar la teoria de la versió forta d'una lógica protoalgebraica a lògiques sentencials arbitràries. Donada una lògica sentencial S, la seva versió forta S+ és la lògica induida per la classe de matrius que tenen com conjunt de veritat un filtre de Leibniz. Estudiem tres criteris de definibilitat dels filtres de Leibniz: definabilitat equacional, definibilitat explìcita, i definibilitat lògica. Sota qualsevol d'aquestes hipòtesis, provem que els S+-filtres coincideixen amb els S-filtres de Leibniz en àlgebres arbitràries. Finalment, apliquem la teoria general desenvolupada a vàries lògiques no protoalgebraiques estudiades a la literatura. Concretament, considerem la Lògica Positiva Modal, la lògica de Belnap,lògiques subintuicionistes, i la lògica infinito-valorada de Lukasiewicz que preserva graus de veritat. També considerem la generalització de l'últim exemple esmentat a lògiques que preserven graus de veritat respecte de varietats de reticles residuats integrals i commutatius, així com les generalitzacions als casos no integrals i sense constant multiplicativa. Classifiquem tots els exemples investigats dins de les jerarquies de Leibniz i de Frege. Cap de les lògiques estudiades és protoalgebraica, mentre que totes les respectives versions forts són truth-equacionals (fet que no es dóna en general).
