Resumen de Evaluación y desarrollo del conocimiento matemático para la enseñanza de la probabilidad en futuros profesores de educación primaria
1. Introducción o motivación de la tesis En los últimos años se ha reconocido la necesidad de formar el conocimiento y razonamiento probabilístico desde la infancia, para que el ciudadano pueda desenvolverse con éxito en las situaciones inciertas (Gal, 2002; Jones, 2005; Batanero, 2006, 2013). Como consecuencia, en España, siguiendo la tendencia internacional, se ha incluido recientemente la enseñanza de la probabilidad desde la educación primaria (MEC, 2006).
Puesto que la probabilidad es un tema relativamente nuevo en el currículo, parte de los futuros profesores de educación primaria que ingresan en las Facultades de Educación no han recibido una formación suficiente en probabilidad. Esta situación, común en otros países, ha llevado a instituciones internacionales como IASE (International Association for Statistical Education) e ICMI (International Commission on Mathematical Instruction) a priorizar la investigación sobre la formación probabilística de los profesores (Batanero, Burril, y Reading, 2011).
Con objeto de contribuir a esta problemática, nuestro trabajo aborda el problema de la evaluación y el desarrollo del conocimiento matemático para la enseñanza de la probabilidad en futuros profesores de educación primaria.
2. Desarrollo teórico Nos basamos en el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (Godino y Batanero, 1994; 1998a y b; Godino, 2002; Godino, Batanero, y Font, 2007; 2012) y en el modelo de conocimiento matemático para la enseñanza (Hill, Schilling, y Ball, 2004; Ball, Thames y Phelp, 2008; Hill, Ball y Schilling, 2008; Ball y Bass, 2009), matizado con algunas aportaciones del enfoque ontosemiótico (Godino, 2009, 2011, 2013), que también proporcionan criterios para su evaluación.
El ¿enfoque ontosemiótico¿ (EOS) de la cognición e instrucción matemática permite determinar las configuraciones epistémicas asociadas a los significados intuitivo, clásico, frecuencial, subjetivo y axiomático de la probabilidad (Batanero, 2005; Batanero y Díaz, 2007). A partir de este análisis se fija el significado de referencia de la probabilidad en esta investigación y se realizan tres estudios complementarios: ¿ Estudio 1. En primer lugar, se analizan los objetos matemáticos específicos ligados a los diversos significados de la probabilidad en los documentos curriculares para educación primaria vigentes en España (MEC, 2006; Consejería de Educación, 2007); también se indican, como referente internacional, las sugerencias curriculares de Estados Unidos para la enseñanza de la probabilidad en educación primaria (NCTM, 2000; Franklin et al., 2007). Igualmente se analizan los objetos matemáticos ligados a cada significado de la probabilidad en dos series de libros de texto de matemáticas para educación primaria. Como consecuencia, se deduce el significado institucional de referencia para nuestra investigación, que servirá de base en la definición semántica para la construcción de los cuestionarios de evaluación utilizados en los Estudios 2 y 3.
¿ Estudio 2. Está orientado a la evaluación del conocimiento matemático de los futuros profesores de educación primaria. Para ello se construye el Cuestionario 1 que evalúa el conocimiento común, ampliado y especializado de la probabilidad respecto a los contenidos de mayor interés determinados en el Estudio 1. La aplicación del cuestionario en una muestra de 157 futuros profesores y el análisis detallado de sus respuestas permite caracterizar dichos componentes de su conocimiento. Por otro lado, las dificultades encontradas son retomadas en una actividad formativa, basada en el debate de las soluciones y la simulación para desarrollar el conocimiento matemático de la probabilidad en estos profesores.
¿ Estudio 3. Está dirigido a evaluar nuevos componentes del conocimiento matemático para la enseñanza de la probabilidad, así como la evolución de algunos aspectos del conocimiento matemático sobre probabilidad de los futuros profesores. Para ello se construye el Cuestionario 2 y se analizan las respuestas al mismo de una submuestra de 81 futuros profesores trabajando en pequeños grupos. El análisis detallado de sus respuestas permite, por un lado, concluir la evolución positiva del conocimiento matemático en los ítems utilizados, debido a la actividad formativa realizada con los futuros profesores después de responder al Cuestionario 1. Asimismo permite describir parte de su conocimiento especializado del contenido y de su conocimiento del contenido y el estudiante.
3. Resultados, conclusiones y aportaciones El Estudio 1 identifica los objetos matemáticos implícitos o explícitos en los documentos curriculares y libros de texto, que deben formar parte del conocimiento común del contenido para la enseñanza de la probabilidad en la educación primaria. Además, identificamos fortalezas y debilidades en las actividades propuestas en estos libros de texto, información que puede ser de interés a profesores y formadores de profesores, por cuanto les alerta sobre posibles razonamientos errados, heurísticas y sesgos que se estén promoviendo en los niños, de forma inconsciente.
Por otra parte, el resultado del análisis puede usarse para desarrollar mejor el currículo, ya que hemos puesto de manifiesto la transversalidad de algunos objetos matemáticos presentes en los tres ciclos formativos y su progresión en el tiempo. En el análisis de libros de texto, también hemos puesto de manifiesto situaciones que pueden ser desarrolladas con diferentes significados de la probabilidad.
El Estudio 2 muestra una alta proporción de futuros profesores de educación primaria en la muestra con problemas en el razonamiento combinatorio, cálculo de probabilidad condicionada, interpretación de la probabilidad frecuencial y una presencia importante de heurísticas y sesgos, como representatividad y equiprobabilidad. Un aporte de nuestro estudio es que hemos contemplado los diversos significados de la probabilidad presentes en el currículo, encontrando que en nuestra muestra hay mejor comprensión de objetos ligados al significado clásico, seguido por el significado frecuencial y es baja la comprensión del significado subjetivo. Una proporción importante de estudiantes se basa en razonamiento proporcional, en general bien aplicado; sin embargo, se nota cierta dificultad con la proporcionalidad inversa.
Al comparar los tres tipos de conocimiento evaluados, los mejores resultados se dan en el conocimiento común, seguido por el ampliado y especializado. Si bien hay tendencia a un alto porcentaje de respuestas correctas, las estrategias empleadas para llegar a éstas indican un pobre razonamiento probabilístico y el predominio de estrategias aritméticas, e incluso falta de razonamiento probabilístico. Por ello, globalmente, consideramos que el conocimiento matemático de probabilidad de estos profesores ha de ser reforzado. Además hubo poca variabilidad en las argumentaciones de las respuestas, lo que indica coincidencia en una pobre capacidad argumentativa, que podría ser común en otros contenidos matemáticos y no sólo síntoma de pobre conocimiento de la probabilidad.
En el Estudio 3 observamos que una alta proporción de grupos participantes muestra conocimiento del contenido y los estudiantes aceptable para el nivel de formación al que impartirán la enseñanza en su futuro ejercicio profesional. La identificación de respuestas correctas, parcialmente correctas y erróneas de niños ficticios es satisfactoria respecto a los contenidos evaluados: sesgo de equiprobabilidad, juego equitativo, probabilidad simple con el significado frecuencial y comparación de probabilidades con el significado clásico. Sin embargo, fue más pobre la justificación de fuentes del error; también debido posiblemente a falta de capacidad de argumentación.
Hemos también observado de manera indirecta en el Estudio 3 el desarrollo del conocimiento matemático común y ampliado de la probabilidad de los participantes con respecto a los contenidos mencionados, pues son capaces de identificar las respuestas correctas e incorrectas a los problemas planteados. Todo ello como consecuencia de la actividad formativa desarrollada en que discuten posibles soluciones (correctas y erradas), y realizan actividades con diagramas en árbol y simulación.
Los resultados de los dos estudios de evaluación proporcionan una información valiosa para los investigadores y formadores de profesores con respecto a la enseñanza de la probabilidad a nivel de educación primaria. Otras aportaciones de la tesis son los instrumentos y las actividades diseñados. Resultados parciales se han dado a conocer a través de diversas publicaciones que se detallan a lo largo de la memoria.
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