Resumen de Medidas entrópicas y de complejidad de funciones especiales y sistemas cuánticos
Miguel Angel Guerrero Martínez
RESUMEN TESEO Título de la tesis: Medidas entrópicas y de complejidad de funciones especiales y sistemas cuánticos.
Doctorando: Ángel Guerrero Martínez.
En esta tesis se estudian las propiedades teórico-informacionales de los polinomios ortogonales hipergeométricos y de los armónicos hiperesféricos. Estas propiedades corresponden a las medidas entrópicas y a las medidas de complejidad intríseca de la densidad de Rakhmanov de (o densidad de probabilidad asociada a) tales funciones especiales de la matemática aplicada. Estas magnitudes cuanti¿can el esparcimiento o distribución de dichas funciones en su dominio soporte desde la perspectiva de la Teoría de la Información; o sea, mas allá de la desviación estándar y de sus generalizaciones basadas en los momentos ordinarios de orden arbitrario. Las magnitudes teórico-informacionales de los polinomios ortogonales se expresan en términos de los momentos de frecuencia o momentos entrópicos de su densidad de Rakhmanov, que son funcionales integrales de tipo potencia de dicha densidad (y, por tanto, estrechamente relacionados con las normas Lp de tales funciones).
Los contenidos de esta tesis están en gran medida inspirados por las ideas y el enfoque empleado por Leonhard Euler en sus trabajos para profundizar en el conocimiento de las funciones matemáticas. Euler introdujo, analizó y aplicó en distintas direcciones muchos conceptos extraídos de la Física (e.g., energía mutua, potencial logarítmico, electrostática de ceros,...) que han contribuido poderosamente al desarrollo de lo que ahora se entiende en matemática aplicada por teoría de funciones especiales, teoría de aproximación y teoría de potencial. En este trabajo se introducen, analizan y aplican conceptos y técnicas extraídos de la Teoría de la Información para aumentar el (ya de por sí, enorme) caudal de conocimientos de que se dispone actualmente sobre los polinomios ortogonales hipergeométricos y los armónicos esféricos. Su interés y relevancia no son solo de carácter fundamental en matemática aplicada (dado que las nuevas medidas consideradas en esta tesis describen aspectos de las funciones especiales no contemplados hasta ahora), sino también de carácter aplicado: las magnitudes teórico-informacionales de estas funciones especiales están estrechamente relacionados con las entropías físicas y las medidas de complejidad que describen y cuanti¿can el desorden interno (y por ende, las propiedades macroscópicas) de los sistemas cuánticos. Esto se debe a que los polinomios ortogonales hipergemométricos y los armónicos esféricos controlan las funciones de onda que caracterizan los estados mecano-cuánticamente permitidos de la mayoría de los sistemas físicos cuyas ecuaciones de movimiento fundamentales (ecuaciones de Schrödinger y Dirac) son exacta o cuasi- exactamente resolubles.
A continuación se describen brevemente los resultados y conclusiones principales de este trabajo.
1. Se han estudiado tanto analítica como numéricamente las longitudes entrópicas de Fisher, Rényi y Shannon de las tres familias canónicas de los polinomios ortogonales hipergeométricos (Hermite, Laguerre y Jacobi) en términos del grado n y de los parámetros que caracterizan su función peso. Estas magnitudes permiten cuanti¿car diferentes aspectos del esparcimiento de tales polinomios a lo largo de su intervalo de ortogo- nalidad, más allá de los que proporcionan la simple desviación estándar y los momentos ordinarios (que dependen de un punto específico del intervalo, bien sea el centroide o el origen). Se han encontrado expre-siones cerradas y simples para, no solo la desviación estándar y los momentos ordinarios, sino también para la longitud entrópica de Fisher. Para la longitud entrópica de Rényi hemos encontrado dos algoritmos diferentes de cálculo: uno basado en los polinomios de Bell, de uso frecuente en Combinatoria, y otro basado en las funciones hipergeométricas generalizadas de Lauricella y Srivastava-Daoust. La longitud entrópica de Shannon no se deja calcular analíticamente debido a su carácter de funcional logarítmico de los polinomios, por lo que nos hemos limitado a su acotación por medios variacionales y teórico-informacionales, analizándose la precisión numérica de las cotas resultantes. Una continuación natural de gran interés sería la determinación de las longitudes entrópicas de todos los polinomios ortogonales de la tabla de Askey, incluyendo el sistema más general que engloba a los polinomios de Askey-Wilson.
2. Se han obtenido las expresiones de las normas Lq (así como los momentos entrópicos y las entropías de Rényi) de los polinomios ortogonales hipergeométricos, incluyendo los polinomios de Hermite generalizados, por medio de ciertas funciones especiales de tipo Lauricella y Srivastava-Daoust de 2q variables evaluadas en algunos valores específicos de dichas variables. Estas expresiones abren la posibilidad de generar una téc- nica alternativa a los métodos más so¿sticados de Riemann-Hilbert y Tulyakov, para la determinación de la asintótica de estas tres magnitudes matemáticas teórico-informacionales cuando el grado n de los polinomios se hace grande o muy grande, por medio de la obtención de la asintótica concomitante de las funciones hiper- geométricas multivariadas antes mencionadas para grandes valores de sus parámetros. El cálculo de las normas Lq y las entropías de Rényi Rq, q > 0 para grandes valores de n no solo tiene un interés matemático per se sino que también presenta aplicaciones físicas interesantes, dado que su resolución permitiría determinar los valores exactos de varias propiedades fundamentales y/o experimentalmente accesibles de los estados Rydberg o estados altamente excitados de los sistemas atómicos o moleculares.
3. Se ha determinado la asintótica de las normas Lq de los polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi de grado n cuando q tiende a infinito, mediante el método de Laplace. Y se han analizado las propiedades de monotonía de estas normas. Asimismo se ha llevado a cabo un estudio numérico exhaustivo de la asintótica de todos los polino-mios ortogonales clásicos. La extensión de estos resultados a otros polinomios ortogonales de tipo hipergeométrico en variable continua y a los polinomios ortogonales clásicos en variable discreta son pro-blemas abier-tos cuya resolución sería de gran interés no solo desde un punto de vista matemático sino tam-bién en otros campos científicos, particularmente en mecánica cuántica. Ha de mencionarse inmediatamente que los únicos resultados de este tipo publicados hasta ahora son los correspondientes a los polinomios de Charlier y Meixner.
4. Se han calculado y discutido varias nociones de complejidad de los polinomios ortogonales hipergeomé- tricos, que fueron inicialmente introducidas en la descripción mecano-cuántica de los sistemas atómicos y moleculares y de varios procesos físico-químicos. Se han estudiado analítica y numéricamente las medidas de complejidad de Cramér-Rao, Fisher-Shannon y LMC de la densidad de probabilidad de Rakhmanov de los polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi en términos del grado n y de los parámetros que caracterizan la función peso de tales polinomios. Se ha obtenido, en particular, la expresión explícita de la complejidad de Cramér-Rao y las expresiones asintóticas para las medidas de Fisher-Shannon y LMC. Y se pone de mani¿esto la necesidad de avanzar en el problema de la reducción a funciones mas simples de las funciones hipergeomé-tricas generalizadas de tipo Lauricella y Srivastava-Daoust para poder profundizar en el conocimiento de las medidas de complejidad polinómicas antes mencionadas.
5. Se ha estudiado tanto analítica como numéricamente una batería de medidas teórico-informacionales de los armónicos hiperesféricos constituida por los momentos entrópicos, las medidas entrópicas y las medidas de complejidad. Para ello ha sido de gran ayuda la estrecha relación existente entre los armónicos hiperesféricos y los polinomios ortogonales hipergeométricos de tipo Gegenbauer. Esto ha permitido la determinación de las correspondientes magnitudes de uno de los prototipos físicos más utilizados en la descripción e interpretación de múltiples propiedades de los sistemas moleculares; a saber, el rotador rígido. En esta tesis se han inves-tigado los valores de entropía y complejidad de las funciones de onda (que están controladas por los armó-nicos hiperesféricos) en D dimensiones en términos de la dimensión y los números hipercuánticos del estado del sistema. Se ha obtenido, en particular, la expresión explícita tanto para la información de Fisher como para los momentos entrópicos y las entropías de tipo Rényi. Dado que los armónicos hiperesféricos describen la parte angular de los estados estacionarios de cualquier potencial central en dimensión arbitraria D, las medidas teórico-informacionales aquí consideradas permiten cuantificar la anisotropía angular de las funciones de onda no solo del rotador rígido sino de cualquier otro sistema multidimensional sujeto a un potencial central. Es decir, estas medidas cuantifican de diversas formas la estructura geométrica de los estados cuánticos del correspon-diente sistema.
6. Finalmente, se han analizado y comparado relativamente entre sí las medidas de complejidad y algunos pro-ductos de incertidumbre de sistemas cuánticos arbitrarios. En particular, se han encontrado cotas superiores a las medidas de complejidad de Cramér-Rao, Fisher-Shannon y LMC en términos del producto de incertidumbre de Heisenberg. Y se ha mostrado numéricamente la precisión de estas cotas en varios potenciales centrales específicos de tipo coulombiano y de tipo armónico. Se ha mostrado, por último, que la consideración de la simetría esférica en el potencial del sistema mejora sustancialmente las cotas en todos los casos.
