Resumen de Mathematical analysis of fractional and nonlocal models from nonlinear solid mechanics
En esta tesis se aborda el estudio de modelos no locales y fraccionarios obtenidos de la mecánica de sólidos no lineal. En concreto se estudia la deformación de un sistema (a menudo a través de un sistema de ecuaciones diferenciales) a través de la existencia de minimizadores (deformaciones óptimas) del funcional energía asociado. La primera parte de la tesis se centra en estudiar la idoneidad de la descripción bond-based de la peridinámica como modelo no local no lineal de la mecánica de sólidos y cuyo funcional energía viene dado por una doble integral. Sin embargo, aunque ya se había demostrado la existencia de solución de este tipo de modelo, se encuentran algunas restricciones de modelado al analizar como actúa el proceso de localización. En concreto se muestra que la mayoría de funciones hiperelásticas, o modelos como el de Money-Rivlin no se llegan a recuperar tras el proceso de localización. Como consecuencia, se decide cambiar al estudio de un tipo diferente de modelos no locales, basados en operadores gradiente no locales que involucran una integral en su definición. Ésto hace que el funcional energía venga dado por una integral cuyo integrando es una función que depende, a su vez, de otra integral.
Tras esta consideración, se estudia primero un tipo concreto de gradiente no local: el gradiente fraccionario s (de Riesz), definido sobre todo el espacio y que extiende el concepto de gradiente/derivada a valores entre 0 y 1. Este estudio involucra primero el análisis de los espacios de funciones asociados así como diversas propiedades relativas a estos operadores, muchas de ellas generalizando las del caso clásico. Tras esto, habremos recogido una serie de herramientas que nos servirán para mostrar la existencia de minimizadores de funcionales vectoriales policonvexos fraccionarios (en función del gradiente fraccionario). Finalmente esta secunda parte se acaba con el estudio de localización, en este caso de recuperación del modelo con derivadas clásicas cuando el índice s converge a 1.
Finalmente, en la tercera y última parte se presenta un modelo que busca aglutinar las propiedades buscadas en los dos anteriores, es decir, que actúe sobre dominios acotados (relevante para las aplicaciones) a diferencia del caso fraccionario, y que también se puedan recuperar los modelos hiperelásticos tras el proceso de localización. En concreto, se desarrolla un análisis con estos gradientes no locales sobre dominios acotados parecido al caso anterior, pero con algunas diferencias importantes, a destacar, por su novedad y relevancia, una versión no local del teorema fundamental del cálculo. Con ésto, conseguimos desarrollar todas las herramientas para proporcionar un modelo bien planteado de hiperelasticidad no local que admita funciones con singularidades como las fracturas.
