Privileged information on financial assets via enlargement of filtrations
- Autores: José Antonio Salmerón Garrido
- Directores de la Tesis: Bernardo D'Auria (dir. tes.), Eduardo García Portugués (tut. tes.)
- Lectura: En la Universidad Carlos III de Madrid ( España ) en 2023
- Idioma: inglés
- Tribunal Calificador de la Tesis: Rosa Elvira Lillo Rodríguez (presid.), Carlos Escudero Liébana (secret.), Claudio Fontana (voc.)
- Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid
- Materias:
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: e-Archivo
- Resumen
- español
En múltiples ámbitos de la vida cotidiana se ponen de manifiesto las importantes diferencias existentes entre información y conocimiento: basta con tomar un libro escrito en un idioma desconocido para percatarnos de que toda la información que contiene no repercute ni en un ápice de conocimiento para aquel que desconozca por completo dicha lengua y que carezca de herramientas de traducción que le permitan procesarlo. Podemos encontrarnos ante el diseño del nuevo smartphone o del guion de la última película de una gran productora, que nuestro desconocimiento lo convertirá en inútil e insignificante. En el mundo financiero, al que se refiere esta tesis, a la dificultad de obtener algún tipo de información que sea privilegiada en el mercado, es decir, no disponible al alcance de cualquier inversor, se le une la dificultad de saber procesarla para convertirla en una herramienta útil. La tesis versa sobre esta última idea y trata de traducir a un lenguaje técnico-matemático una gran cantidad de fuentes de información financiera de diversa índole y en multitud de situaciones. En el problema del portafolio óptimo, asumimos la existencia de un agente que desea invertir un capital en un mercado compuesto por dos activos: uno de ellos fluctúa acorde a una tasa de interés y el otro reproduce el comportamiento de una participación bursátil. El objetivo de dicho agente es el de maximizar sus rendimientos futuros en un dado horizonte temporal y haciendo uso de una función de utilidad que prioriza sus intereses. Para representar la dinámica de dichos activos se emplea un sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas bajo la integración de Itô. La fuente de ruido se genera a partir de un movimiento Browniano W y de un proceso puramente de saltos compensadoN˜ , haciendo uso de sus buenas propiedades como integradores. Surge el concepto de filtración como objeto matemático que recoge el flujo de información a la que tiene acceso el inversor en cada instante de tiempo. Usualmente, dicho flujo se representa mediante la mínima colección de sigma-álgebras para la que los procesosW y N son adaptados, es decir, conocidos. En este contexto, ampliar la filtración significa dotar de un grado más elevado de información al inversor, que en este punto se le conoce como insider para hacer referencia a su posición privilegiada. Tal y como referíamos desde el comienzo, esa información puede ser generadora de conocimiento en el sentido de maximizar la riqueza propia, siempre que sepamos cómo traducirla en el lenguaje correspondiente. El principal problema radica en el hecho de que, a menudo, invertir en el mercado con una filtración más grande genera que la integración estocástica con respecto a W yN˜ quede mal definida, y por tanto, debemos garantizar que dichos procesos, que en la filtración natural poseían la propiedad de martingala, mantengan al menos la de ser buenos integradores (también llamados semimartingalas). Esta problemática puede ser atacada mediante dos vertientes: la teoría de ampliación de filtraciones o el cálculo anticipativo. Para la primera, algunas hipótesis de regularidad (hipótesis de Jacod) deben ser asumidas para asegurar la existencia del llamado information drift que compensa a W yN˜ para convertirlos en semimartingalas. Para la segunda, se debe generalizar el concepto de integración de Itô: surge la derivada de un proceso estocástico en sentido de Malliavin y la integración de tipo forward o de tipo Skorokhod, donde los requerimientos impuestos de medibilidad a los procesos integrables se minimizan. A estos dos pilares básicos de la tesis se le une un tercero: la teoría del arbitraje financiero. Dicha teoría analiza las posibilidades de incrementar el capital invertido sin asumir ningún riesgo de pérdida. Se impone la condición de No Free Lunch Vanishing Risk (NFLVR) para evitar dicha posibilidad y emular la lógica aparente de los mercados. Sin embargo, la situación se ve modificada cuando ostentamos un grado mayor de conocimiento: saber el comportamiento futuro de los precios nos puede conducir a una violación de la condición (NFLVR). El trasfondo de la modelización de la información privilegiada persigue dar respuesta a una pregunta: ¿Qué beneficio adicional esperamos obtener de dicha información? En esta tesis, se calcula el beneficio como la diferencia de ganancias que obtiene el insider frente al inversor no informado bajo utilidad logarítmica y al término del horizonte de inversión. Con todos los ingredientes encima de la mesa, la tesis pretende analizar diferentes modelizaciones del mercado financiero en la que figuran informaciones adicionales, aplicar herramientas para compensar los procesos -bien en términos de semimartingalas o en términos de cálculo anticipativo- y valorar finalmente el precio de dicha información. La presencia de una tasa de interés estocástica, de una modulación markoviana de los coeficientes del mercado o de una bancarrota externa son algunas de las situaciones que serán protagonistas durante el desarrollo matemático. La tesis se divide en dos partes: mientras que en la primera la fuente de ruido del mercado es únicamente el proceso continuo W, en la segunda introducimos los saltos por medio del proceso N˜ . El Capítulo 1 supone una introducción al paradigma matemático empleado. Se pretende introducir los conceptos básicos de cálculo estocástico, aunque no se supone presentar un curso autocontenido en la materia. En dicho capítulo también formulamos el problema del portafolio óptimo, hilo conductor sobre el que orbitan los desarrollos matemáticos posteriores, mediante una optimización estocástica en tiempo con tinuo y para diferentes funciones de utilidad. A continuación, detallamos los mencionados pilares básicos de nuestra tesis: la ampliación de filtraciones, el cálculo anticipativo y la teoría del arbitraje. De nuevo se pretende ilustrar los conceptos a los que serán recurridos y proveer de referencias sobre las cuales profundizar sobre el tema. El Capítulo 2 analiza relaciones entre las oportunidades de arbitraje y la ampliación de filtraciones, poniendo el acento en la relación del (NFLVR) con asumir bancarrotas momentáneas. El Capítulo 3 emplea una modelización estocástica de la tasa de interés, mediante una clase de procesos de difusión afines entre los que se encuentra el llamado modelo de Vasicek. Resolvemos el problema del portafolio óptimo con dicha modificación, que crea incompletitud en el mercado, y obtenemos soluciones explícitas dividiendo las informaciones en dos tipos: lineales y no lineales. Una nueva metodología para calcular el information drift en términos de medidas vectoriales es introducida. El Capítulo 4 asume que los procesos del mercado poseen una modulación markoviana, con la novedad de que esta puede ser anticipativa al flujo natural de información. De nuevo resolvemos el problema de portafolio óptimo tanto para mercados completos como incompletos, aportando sendos ejemplos en cada caso. En la segunda parte de la tesis, incluimos los saltos provenientes de N˜ . Las importantes diferenencias de trabajar con un ruido continuo a introducir saltos vienen reflejadas en el Capítulo 5, de introducción, así como las cuestiones a considerar con respecto a todas las vertientes de la tesis. En el Capítulo 6 valoramos la información anticipativa en un mercado puramente discontinuo, obteniendo una fórmula explícita de naturaleza entrópica y con paralelismos a la ya conocida con respecto al modelo de solo W. La sinergia de contar simultáneamente con ambos procesos genera una gran cantidad de ejemplos que son reflejados en dicho capítulo. El Capítulo 7 presenta un mercado susceptible a una quiebra externa así como un cambio de paradigma. Desde el comienzo de dicho capítulo renunciamos a formular la dinámica de los coeficientes mediante una integración de Itô en beneficio de una integración tipo forward. Esto nos permite una mayor flexibilidad sobre la adaptabilidad de los coeficientes del mercado, que se asumen dependientes de la bancarrota. El modelo es resuelto simultáneamente mediante técnicas de cálculo anticipativo y de ampliación de filtraciones, obteniendo así interesantes relaciones en términos de information drift y derivadas de Malliavin.
- English
The major gap between information and knowledge is evident in many aspects of daily life. It is enough to hold a book written in an unfamiliar language to realize that all the information it contains is not even an atom of knowledge for those who are completely ignorant of that language and lack the necessary tools to be able to translate it. We may be faced with the design of the new smartphone or the script of the latest film by a famous production company, and our lack of knowledge will turn it into a useless and meaningless thing. In the financial world, to which this thesis refers, the difficulty of obtaining some kind of information that is privileged in the market, i.e., not available to any investor, is aggravated by the difficulty of knowing how to manage it in order to convert it into a useful tool. The thesis deals with the latter point and attempts to translate into a technical-mathematical language a large number of sources of financial information of diverse nature and in a multitude of scenarios.
In the optimal portfolio problem, we assume the existence of an agent who is willing to invest a capital in a market composed of two assets: one of them moves according to an interest rate and the other one reproduces the behavior of a stock market share. The agent's objective is to maximize her future expected wealth within a given time horizon and by using a utility function to prioritize her interests. To represent the dynamics of these assets, we use a system of stochastic differential equations under the framework of the Itô integration. The source of noise is generated from a Brownian motion W and a compensated Poisson process Ñ, by using their good properties as integrators. The concept of filtration arises as a mathematical object that collects the information flow that the investor has access at any instant of time. Usually, such flow is represented by the minimum filtration such that the processes W and N are adapted, i.e., known.
In this context, to enlarge the filtration means to provide a higher degree of information to the investor, who at this point is known as insider to refer to her privileged position. As we mentioned at the beginning, this information can generate knowledge in the sense of maximizing the expected wealth, provided that she knows how to translate it into the corresponding language. The main problem is the fact that, often, investing in the market with a larger filtration produces the Itô integration with respect to W and Ñ becomes ill-posed, and therefore, we must guarantee that these processes, which in the original flow had the martingale property, maintain at least the property of being good integrators (also called semimartingales).
This problem can be addressed in two ways: the enlargement of filtration theory or the anticipating calculus. For the first one, some regularity hypothesis (the \emph{Jacod's hypothesis}) must be assumed in order to assure the existence of the so-called information drift that compensates W and Ñ and convert them in semimartingales. For the second one, the concept of integration must be generalized: the derivative of a stochastic process in the sense of Malliavin and integration of type \emph{forward} arise, where the requirements imposed of measurability on the processes are minimized.
These two basic pillars of the thesis are joined by a third one: the theory of financial arbitrage. This theory analyzes the possibilities of increasing the capital invested without assuming any risk of loss. The No Free Lunch Vanishing Risk (NFLVR) condition is imposed to avoid such a possibility and to emulate the apparent logic of the markets.
However, the situation is altered when the investor has a higher degree of knowledge: knowing the future behavior of prices can lead to a violation of the condition (NFLVR).
The study of insider information modeling provides an answer to the following question: What is the value of the additional information? According to the answer given in this thesis, although not uniform in the literature, it is defined as the difference in profits obtained by the insider versus the uninformed investor under logarithmic utility and at the end of the investment horizon.
With all the ingredients on the table, the thesis aims to analyze different financial market modelings in which additional information is included, to compensate the processes -either in terms of semimartingales or in terms of anticipating calculation- and finally to value the price of such information. The presence of a stochastic interest rate, of a Markovian modulation of the market coefficients or of an external bankruptcy are some of the situations that will be the central issue during the mathematical development.
The thesis is divided into two parts: while in the first one the source of market noise is only the continuous process W, in the second one we introduce the jumps relative to Ñ.
- español
