Resumen de Modelización fenomenológica, mediante funciones estadísticas, en el ajuste e interconversion de procesos viscoelásticos y de duración de vida
ESPAÑOL Los materiales viscoelásticos comprenden una amplia variedad de materiales, tales como polímeros, materiales cuasi-frágiles, madera, tejidos, así como metales a altas temperaturas, ampliamente usados en componentes mecánicos, estructuras y biológicos en numerosas aplicaciones en ingeniería. Todos ellos se caracterizan por una combinación entre comportamiento elástico y viscoso cuando se les aplican tensiones o deformaciones. Sin embargo, su característica principal es su dependencia con respecto al tiempo y a la temperatura, bien sea bajo cargas estáticas o dinámicas, además de otros factores externos como la presión, la humedad o el envejecimiento.
El uso de este tipo de materiales viscoelásticos en el diseño de componentes mecánicos o estructurales requiere de una caracterización previa de su comportamiento mecánico, dado que la dependencia con estos factores externos influye no sólo en el diseño de componentes, sino también en la fabricación y modelización numérica.
La caracterización viscoelástica es compleja debido a la limitación de tiempo en el que se desarrolla una campaña experimental, dado su comportamiento a largo plazo, por lo que se requiere de una serie de restricciones en el proceso de caracterización. En primer lugar, la necesidad de llevar a cabo dicha caracterización a partir de una serie de curvas cortas de ensayos de relajación a distintas temperaturas. En segundo lugar, la evaluación conjunta de estos resultados experimentales para obtener la curva maestra del material, como por ejemplo en el caso del módulo de relajación, lo que requiere de modelos adecuados. En tercer lugar, la conversión de la curva maestra para una determinada temperatura de referencia a cualquier condición de tiempo y temperatura, lo cual implica la extrapolación de las curvas viscoelásticas fuera de los límites de los resultados de experimentales.
El principio de Superposición Tiempo-Temperatura (TTS) es el método más utilizado para la construcción de las curvas maestras del material a una determinada temperatura de referencia, basado en una presumible equivalencia entre las variables tiempo y temperatura por la cual las curvas cortas a distintas temperaturas pueden ser transformadas a una curva maestra común a partir de un modelo de transformación tiempo-temperatura adecuado.
Los modelos de caracterización viscoelástica actuales basados en el principio TTS presentan ciertas desventajas e inconsistencias, tales como la necesidad de que las curvas cortas se solapen durante, al menos, una década de tiempo, o el requerir la combinación de dos modelos TTS distintos para poder definir la curva maestra en todo el rango de temperaturas. Sin embargo, el inconveniente principal de estas metodologías actuales reside en no satisfacer las dos condiciones necesarias para ser modelos válidos, como son la unicidad y la compatibilidad. De esta forma, las transformaciones en tiempo y temperatura de las curvas cortas a la curva maestra dependen de la temperatura de referencia de origen.
Por ello, los modelos fenomenológicos propuestos de caracterización viscoelástica, basados en la identificación de la evolución de las funciones viscoelásticas con las distribuciones normal y Gumbel, constituyen alternativas adecuadas para evitar estos inconvenientes de las metodologías clásicas, dado que su derivación está rigurosamente basa en condiciones físicas y estadísticas, tales como la condición de compatibilidad, justificando ser así una solución válida para la caracterización viscoelástica. La normalización del módulo de relajación con respecto a su inherente doble acotación, entre los módulos elástico y relajado, además de su condición de función monótona y estrictamente decreciente permite que sea asimilada, por definición, por una función de supervivencia, lo que permite evidencia una base estadística que subyace en el fenómeno viscoelástico en sus diferentes representaciones. Con ello, la caracterización viscoelástica puede llevarse a cabo de una forma más objetiva y directa, evitando además las inconsistencias de los modelos clásicos basados en el principio TTS. Así mismo, los parámetros de los modelos que se proponen tienen una interpretación física más directa.
La selección de las cdf de la distribución normal para la descripción de la evolución temporal del módulo de relajación está justificada por el teorema central del límite cuando se considera la elongación total de una probeta de material viscoelástico sometida a un ensayo de fluencia como la suma de una serie de elongaciones aleatorias correspondientes a los elementos primarios en los que se puede subdividir dicha probeta. Por otro lado, el comportamiento a largo plazo del fenómeno de relajación requiere de una extrapolación de los datos disponibles experimentalmente en las curvas cortas a distintas temperaturas para los casos límite t → 0 y t → ∞. Por ello, el uso de la familia de distribuciones de valores extremos constituye una solución natural a la caracterización viscoelástica, en particular la distribución de Gumbel por ser el dominio de atracción de la distribución normal o log-normal.
Por ello, se desarrollan en esta tesis dos aproximaciones distintas, tal que representan dos formas de analizar el efecto de la temperatura. En el primer caso, se asume que el efecto de la temperatura actúa modificando el parámetro de escala en la función de distribución acumulada de ambas distribuciones normal y Gumbel. De esta forma, la estimación de la curva maestra para una determinada temperatura de referencia se consigue a partir de las curvas cortas experimentales a distintas temperaturas, debido a la imposibilidad práctica de extender la ventana temporal del ensayo. En el segundo caso, la condición de compatibilidad estadística entre la distribución del módulo de relajación para una temperatura dada, E*(t*;T*), y la distribución del módulo de relajación para un tiempo dado, E*(T*;t*), se aplica para obtener la definición analítica del campo T*-t*. Como resultado, los datos experimentales de las curvas cortas de relajación pueden ser representados en una única curva maestra perteneciente a la distribución de Gumbel, constituyendo así la curva maestra más general posible. Así, una vez dicho campo es estimado, las curvas maestras para los dos campos correspondientes E*(t*;T*) y E*(T*;t*) pueden ser obtenidas directamente para cualquier condición de tiempo y temperatura.
Adicionalmente, dado que los fenómenos viscoelásticos y su evolución en el tiempo constituyen fenómenos estocásticos, las técnicas Bayesianas se aplican a los modelos propuestos para lograr así una definición probabilística del módulo de relajación y obtener las distribuciones estadísticas de los parámetros que intervienen en dichos modelos.
Finalmente, con el objetivo de corroborar la aplicabilidad de los modelos propuestos, se realiza una campaña experimental con ensayos de relajación a diferentes temperaturas en un material viscoelástico comercial, conocido como polyvinyl-butyral (PVB), comúnmente utilizada en aplicaciones en ingeniería.
Los modelos fenomenológicos desarrollados en esta tesis se enfocan en el estudio de la evolución de las tensiones en el caso del fenómeno de relajación, o bien de deformaciones en el caso de la fluencia. Aún a pesar de su importancia en la caracterización mecánica de materiales viscoelásticos, este enfoque resulta incompleto cuando se consideran posibles fallos a fractura y fatiga, presentes en las condiciones de servicio de componentes reales, los cuales no pueden ser resueltos por medio de los modelos propuestos anteriormente. Por ello, esta tesis presenta una metodología para la derivación de modelos de predicción de fractura estática con consideración del efecto de la temperatura, basada en los modelos propuestos en la caracterización viscoelástica.
En este sentido, los desarrollos que se proponen en fractura, con consideración no sólo del efecto del efecto de la temperatura, sino también del radio de entalla, deben de ser entendidos como un primer paso en la derivación de metodologías universales en la caracterización de materiales viscoelásticos para el diseño real.
En efecto, aún a pesar de que las condiciones de servicio reales suelen incluir la combinación de efectos externos, tales como la temperatura o el radio de entalla, las metodologías actuales de caracterización a fractura suelen estar focalizadas en uno sólo de estos efectos. Por este motivo, se propone un modelo probabilístico para considerar el efecto de entalla en la predicción de la tenacidad a fractura en componentes entallados, basada en la teoría de las distancias críticas, permitiendo así tener en cuenta la inherente dispersión de los ensayos a fractura en la predicción probabilística del fallo bajo cualquier condición geométrica de la entalla.
Como extensión, esta tesis extiende este modelo probabilístico para el análisis del efecto de entalla para incluir el debido a la temperatura, por medio de la aplicación de la compatibilidad estadística entre las distribuciones acumuladas que intervienen, permitiendo así definir las zonas inferior e intermedia de la curva de transición frágil a dúctil de una forma probabilística y con la tenacidad a fractura para componentes entallados. Mediante la aplicación de las técnicas Bayesianas se consiguen mejorar los modelos propuestos proporcionando las distribuciones estadísticas de las curvas percentiles de fallo, a modo de intervalos de confianza. Finalmente, la aplicabilidad de los modelos propuestos se ejemplifica por medio de una extensa campaña experimental externa en dos aceros ferríticos distintos que incluye distintas condiciones de temperatura y radios de entalla.
INGLES Viscoelastic materials comprise a broad variety of materials, such as polymers, quasibrittle materials, woods, tissues and metals at high temperature, widely used as mechanical, structural and biological components in many engineering fields. They are characterized by a combination of elastic and viscous behaviour when stress or strain conditions are applied. Time and temperature are the main factors influencing the behaviour of viscoelastic materials under static load or deformation, while frequency can be added as an influencing factor when dynamic load is applied. Many other external effects such as pressure, humidity and ageing, exert an influence on their response.
The use of viscoelastic materials in mechanical and structural elements and components requires a previous characterization of their viscoelastic mechanical behaviour. This is required in the limit states analysis when the component is subject to complex stress and strain loading conditions as implied in the prototype predesign, manufacturing process and computational design.
Viscoelastic characterization is likewise complex, particularly because of the limited time interval in which the data can be recorded. The infeasibility of extending a test to an infinite time, or at least to a long-term duration, leads to a number of requirements in the characterization process. Firstly, the necessity of carrying out an experimental campaign based on short term viscoelastic curves at different temperatures. Secondly, the joint evaluation of those short-term viscoelastic curves. For instance, the evolution of the relaxation modulus can be used to estimate the master curve of this viscoelastic variable using an adequate model. Thirdly, the conversion of the master curve using the model to determine the value of the viscoelastic variable, for any time and temperature. This may imply extrapolation of the viscoelastic curves outside the range of the experimental records.
The Time-Temperature Superposition (TTS) principle is widely used for building this master curve at a certain reference temperature, based on a presumable equivalence between time and temperature. This means that an adequate time-and-temperature dependent mathematical model allows the master curve to be derived by transforming the short-term curves at different temperatures to a common reference temperature.
Currently used models based on the application of the TTS principle evidence certain disadvantages and inconsistencies, such as a minimum required overlapping between the short-term curves and the necessity of using at least two different TTS models for the master curve to be derived. Nevertheless, the most critical drawback of such models is the fact that they do not fulfil the basic conditions for a model to be valid, namely, uniqueness and compatibility. As a result, the fitted master curve depends on the temperature initially taken as a reference.
Phenomenological viscoelastic models, based on identification of the viscoelastic evolution as statistical functions of normal and Gumbel distributions, are suitable alternatives to overcome all these drawbacks. Their derivation fulfils basic physical and statistical requirements, including the compatibility condition, proving to be a valid solution for viscoelastic characterization. The normalization of the relaxation modulus with respect to its inherent twofold bounding limits represented by the elastic and relaxed moduli, as well as the observation of its monotonically decreasing character, suggest it can be represented, by definition, as a survival function. This evidences the statistical basis underlying the viscoelastic phenomena in their different manifestations.
As a result, the viscoelastic characterization can now be directly achieved more objectively, avoiding the main inconsistencies of the classic TTS methodologies. The physical interpretation of the model parameters is straightforward.
The selection of the cdf of the normal distribution to describe the time evolution of the normalized relaxation module is justified by using the central limit theorem when the total elongation of a viscoelastic sample in a creep test is supposed to be the sum of the random elongations of a large set of primary elements, in which the specimen is virtually divided. The long-term characteristics of the relaxation phenomenon requires the extrapolation of available data from the short-term curves recorded in the tests for different temperatures towards the limiting cases, t → 0 and t → ∞. Thus, the use of distributions from the generalized extreme value family represents the natural solutions for viscoelastic characterization. In particular, the Gumbel distribution, as the domain attraction of the normal and log-normal ones, appears as the optimal candidate to completely describe the relaxation modulus over time.
To this end, two different approaches are developed in this thesis, which represent two ways of handling the temperature effect. In the first approach, the temperature effect is supposed to act as a change of the scale parameter on the cumulative distribution function of both normal and Gumbel distributions. The estimation of a master curve for a reference temperature succeeds from the short-term curves recorded in the experimental campaign at different temperatures in an experimental window interval between two fixed times due to practical limitations of the tests. In the second approach, the statistical compatibility condition between the value of the relaxation modulus over time for a given temperature E*(t*;T*) and the value along temperature for a given time E*(T*;t*) is applied, allowing the T*-t* field to be analytically defined. As a result, all experimental data from the short-time relaxation curves at different temperature are pooled together into one sole Gumbel cumulative distribution function representing the most suitable equation to fit the master curve. Once this field is estimated, the master curves of both E*(t*;T*) and E*(T*;t*) fields can be derived directly.
The viscoelastic phenomena prove to be stochastic processes, in which time and temperature are the main influencing variables (in addition to the limiting values, i.e. elastic and relaxed moduli). The Bayesian technique provides the probabilistic dimension to the main viscoelastic variables, i.e. relaxation modulus and creep compliance, for both types of deterministic viscoelastic approaches, currently used and statistics-based ones, respectively, by defining the statistical distributions of the intervening parameters.
Finally, the applicability of these proposed models is confirmed using the results of an experimental campaign consisting of a series of relaxation tests at various temperatures on a polyvinyl-butyral (PVB), as a widely used viscoelastic material.
The phenomenological models developed in this thesis address deformation progress in the relaxation case and stress evolution in the creep case. While this is an important contribution to the mechanical characterization of viscoelastic materials, it may be incomplete as static and fatigue failures would likely cause a premature interruption of the service function of the component. This cannot be solved with the models, including the probabilistic models, developed up to here. This thesis presents a way to predict static fracture and fatigue lifetime taking temperature effect into account by applying an adapted version of previous phenomenological models, based on statistical functions.
The resulting fracture development, which deals with the concomitant effect of notches and temperature, should be understood as a first step towards the development of a universal concept of practical design of components made of viscoelastic materials.
In fact, though real service conditions are usually concerned with these effects acting simultaneously, currently used methodologies focused on only one of them in the prediction of fracture resistance properties. Unlike these deterministic methodologies, such as the theory of critical distances, this thesis proposes a probabilistic model to consider the notch effect in notch fracture toughness. This approach takes the inherent scatter of experimental fracture results into account in the failure prediction, under any notch geometry conditions.
The thesis extends the proposed fracture model to include the temperature effect, based on the compatibility condition between the intervening cumulative distribution functions, which allows the lower and intermediate regions of the brittle-to-ductile transition curve to be defined using the notch fracture toughness concept in a probabilistic manner. The model can be improved by applying the Bayesian technique, which provides the statistical distributions of the failure percentile as their confidence intervals. Finally, the fracture results of a large external experimental campaign on ferritic steels, involving different notch and temperature conditions, is assessed to corroborate the applicability of the proposed models.
