Propiedades de propagacion de las aproximaciones por metodos de galerkin discontinuos y elementos finitos clasicos de orden superior de la ecuacion de ondas.
- Autores: Aurora-Mihaela Marica
- Directores de la Tesis: Enrique Zuazua (dir. tes.)
- Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2010
- Idioma: español
- Tribunal Calificador de la Tesis: Marius Tucsnak (presid.), Julia Novo Martín (secret.), Daniel Faraco Hurtado (voc.), Paola Francesca Antonietti (voc.), Blanca Ayuso de Dios (voc.), Liviu I. Ignat (voc.), Carlos Manuel Castro Barbero (voc.)
- Materias:
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- Resumen
A lo largo de esta memoria, analizamos las consecuencias de aumentar la complejidad de los esquemas numericos sobre la aproximacion de la propagacion de ondas y los fenomenos de dispersion.
Es bien sabido el hecho de que en general los metodos numericos convergentes no solo reproducen las soluciones de los modelos continuos como las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs), sino tambien pueden generar artefactos espureos a altas frecuencias. Este fenomeno no constituye un impedimento para que la propiedad de convergencia en el sentido clasico del analisis numerico tenga lugar para condiciones iniciales y de contorno fijados, pero puede ser un inconveniente muy importante a la hora de utilizar clases mas amplias de datos iniciales y soluciones, como pasa en el marco de los problemas de diseño optimo y control. En estos contextos, se sabe que los requisitos clasicos de consistencia y estabilidad que garantizan la convergencia de las aproximaciones de las EDPs no bastan. Por ejemplo, en [59] se ha demostrado que los controles de la aproximacion por diferencias finitas de la ecuacion de ondas 1 ¿¿ d pueden diverger cuando el paso del mallado tiende a cero, incluso cuando la ecuacion de ondas limite es controlable. De manera similar, en [31] se ha probado que las desigualdades de Strichartz clasicas no son uniformes con respeto al paso del mallado para las aproximaciones por diferencias finitas de la ecuacion de Schrodinger. La primera contribucion de esta tesis consiste en hacer un analisis sitematico de las patologias tipo altas frecuencias que son responsables de dichas inestabilidades.
Construimos de una manera rigurosa soluciones a altas frecuencias localizadas tanto en el espacio fisico como en el de Fourier, de modo que sus soportes quedan localizados a lo largo de los rayos bicaracteristicos que se propagan con la llamada velocidad de grupo del esquema numerico, que puede degenerar cuando el paso del mallado converge a cero para los esquemas mas tipicos de aproximacion de la ecuacion de ondas. Esto esta en contraste con el hecho de que todas las soluciones del modelo continuo correspondiente se propagan a una velocidad uniforme. Desarrollamos varias construcciones a altas frecuancias, que conducen todas a resultados similares y que estan basados en analisis de ondas planas, Gaussian beams o expansiones WKB. Estas construcciones dan lugar a paquetes de ondas espureos a altas frecuencias. Nuestro analisis hace mas preciso el analisis de Fourier en N. Trefethen (cf. [54]) y los trabajos posteriores por L. Ignat, M. Negreanu y E. Zuazua (vease [32], [31], [45], entre otros). Desarrollamos estas construcciones primero en el contexto de las diferencias finitas, para luego considerar metodos numericos mas sofisticados basados en aproximaciones de Galerkin discontinuas (GD) y elementos finitos de orden superior. Como veremos, incluso al incrementar el orden de aproximacion de los esquemas numericos o relajandolos mediante un enfoque GD, las patologias a altas frecuancias persisten.
Estos metodos son mas complejos, en el sentido que involucran varias relaciones de dispersion.
Cada una de estas relaciones de dispersion, una fisica y al menos una espurea, tiene sus propios puntos criticos. Teniendo esto en cuenta y usando un desacoplamiento en el espacio de Fourier, se pueden construir paquetes de ondas a altas frecuencias localizados entorno a cada punto critico del espectro, negando cualquier tipo de propiedad de propagacion o dispersion uniforme. Probamos ciertas propiedades finas de estos paquetes de ondas en lo que respecta a su dependencia del v vi CHAPTER 1. INTRODUCCION paso del mallado, como por ejemplo, la tasa de divergencia de la correspondiente constante de observabilidad o su falta de simetria. Para los metodos GD o las aproximaciones por elementos finitos clasicos de orden superior, existen incluso paquetes de ondas que se propagan en el sentido contrario al caso continuo, localizados en el diagrama espureo.
Teniendo en cuenta estas patologias, en la literatura consagrada a desarrollar algoritmos numericos estables para el control de ondas o a resolver ecuaciones dispersivas, se han dise~nado varios mecanismos para reducir el efecto de las componentes en altas frecuencias, considerando, por ejemplo, subclases de datos iniciales filtrados usando un truncamiento de las altas frecuencias [58] en el espacio de Fourier, elementos finitos mixtos [17], algoritmos bimalla [32], [45], viscosidad numerica [52] o regularizacion de Tychonoff [26]. En esta tesis, adaptamos estos mecanismos de filtrado al caso de las aproximaciones DG o por elementos finitos clasicos de orden superior.
Debido al comportamiento mas complejo de estos esquemas, se requiere una atenta combinacion de varias tecnicas de filtrado para eliminar de una manera eficaz los efectos espureos.
En esta memoria, presentamos resultados sobre cuatro temas: 1. Ondas concentradas para la aproximacion por diferencias finitas de la ecuacion de ondas. Desarrollamos una construccion rigurosa de paquetes de ondas en altas frecuencias para la semi-discretizacion por diferencias finitas de la ecuacion de ondas. Usamos tecnicas distintas (metodos asintoticos - WKB o Gaussian beams - y construcciones explcitas de datos iniciales exponencialmente concentrados para la ecuacion de ondas semi-discreta) y mostramos la falta de uniformidad con respeto al paso del mallado en el modelo semidiscreto y, en particular, la divergencia a un orden polinomial arbitrario de la constante de observabilidad.
2. Propiedades de propagacon de las aproximaciones Galerkin discontinuas de la ecuacion de ondas 1¿¿d. Hacemos un estudio sistematico de las propiedades de propagacion de las semi-discretizaciones por metodos GD de la ecuacion de ondas 1 ¿¿ d. En concreto, hacemos un analisis de Fourier cuidadoso de algunas clases de metodos GD en el caso 1 ¿¿ d y construimos soluciones numericas concentradas en altas frecuencias, mostrando la falta de uniformidad en las propiedades de observabilidad para el modelo discreto. Tambien diseñanamos mecanismos de filtrado para la ecuacion de ondas semi-discreta, basados en el truncamiento en Fourier y el algoritmo bimalla.
3. Propiedades de propagacion para las aproximaciones por funciones spline de la ecuacion de ondas 1 ¿¿ d. Desarrollamos un analisis sistematico de las propiedades de propagacion de los llamados k-renamientos o metodos Ck, que consisten en usar funciones de base de tipo spline para aproximar las soluciones de la ecuacion de ondas. Probamos que para cualquier grado de regularidad k de estos metodos, la velocidad de propagacion de los paquetes de ondas sigue sin tener una cota inferior estrictamente positiva. Sin embargo, a medida que k aumenta, la relacion de dispersion discreta se adapta mejor a la continua para un rango mas extendido de numeros de onda.
4. Propiedades de propagacion para la semi-discretizacion por elementos finitos clasicos cuadraticos de la ecuacin de ondas. Realizamos un analisis de Fourier riguroso de la aproximacion por elementos finitos clSsicos cuadraticos de la ecuacion de ondas 1 ¿¿ d. Aparecen fenomenos patologicos similares a la semi-discretizacion por metodos GD.
Diseñnamos los correspondientes mecanismos de filtrado.
Al final de la tesis, incluimos una lista de problemas abiertos relacionados con los temas que tratamos a lo largo de la tesis que pueden constituir interesantes lineas de investigacin en el futuro.
