Resumen de Categorical applications to abstract algebraic logic
Se estudia el Problema del Isomorfismo de la Lógica Algebraica Abstracta en diferentes marcos teóricos: operadores de clausura estructurales sobre M-conjuntos, pi-instituciones, categorías de módulos sobre cuantales y categorías de módulos sobre cuantaloides. Se trata de determinar cuando las dos nociones de equivalencia entre los diferentes sistemas deductivos, la sintáctica y la reticular, coinciden. Asimismo, se estudian las nociones de interpretación y representación, ligadas a las equivalencias sintáctica y reticular, respectivamente.
Se introduce la noción de graduación y se muestra que los M-conjuntos con variable graduada, como los sistemas de Gentzen y de hipersecuentes, entre otros, satisfacen el Teorema del Isomorfismo. Se muestra la imposibilidad de un Teorema del Isomorfismo general. Se muestra también que ser representable por un transformador se conserva por extensiones, demostrando así que tener una semántica algebraica también se conserva por extensiones.
Se estudia la representabilidad entre pi-instituciones como un caso particular de morfismos entre cofibraciones. Se extiende el concepto de variable graduada al contexto de las pi-instituciones, y se muestra que su existencia es suficiente para que representabilidad e interpretabilidad coincidan, y por tanto se satisfaga el Teorema del Isomorfismo en este caso.
Las categorías de módulos sobre cuantales, para las que es conocida una solución al Problema del Isomorfismo, es ampliamente estudiada. Se encuentra una dualidad que relaciona operadores de clausura y submódulos, lo que sirve para demostrar numerosos resultados, entre ellos que todos los epimorfismos son regulares, lo que está relacionado con la existencia de factorización epi-mono. Se demuestra la completitud y cocompletitud fuertes, la existencia de suficientes proyectivos e inyectivos, así como la propiedad de amalgamación fuerte en dichas categorías.
Finalmente, se estudian las categorías de módulos sobre cuantaloides, unificando las diferentes teorías presentadas hasta ahora. Se extienden todos los resultados sobre las categorías de cuantales, y se caracterizan los módulos sobre cuantaloides que satisfacen el Teorema del Isomorfismo, demostrando que son los módulos proyectivos.
