Resumen de Non-integrability and reduction in hamiltonian mechanics: applications
Los sistemas diferenciales hamiltonianos tienen una larga historia; más de un siglo y medio. En dicha historia, tanto la posible integrabilidad de un sistema hamiltoniano dado, como la manera de simplificarlo han sido tema de investigación constante. Tras años de continuos progresos en la dinámica no lineal, en los dos últimos decenios se ha llegado a dar respuesta a aquellas cuestiones planteadas a mediados del siglo XIX. Así, disponemos de un "criterio de no integrabilidad", la teoría de Morales y Ramis. En cuanto a la simplificación, la teoría de "reducción regular" de Meyer-Marsden-Weinstein de los años 70 se ha visto completada al inicio de los años noventa con la teoría de la "reducción singular" de Arms-Gotay-Cushman.
Desde el punto de vista de las aplicaciones, el tema no se presenta de un modo uniforme. De una parte, la dependencia de parámetros externos o la existencia de simetrías introducen en el estudio nuevos aspectos que siguen siendo tema de investigación en el presente. Por otra parte, excluyendo sistemas sencillos de tipo académico, son pocos aún los sistemas que han podido ser estudiados de un modo completo con las técnicas mencionadas. Dicho de otro modo, nos encontramos con que a falta de respuesta clara a la pregunta sobre la integrabilidad, algunos problemas han sido estudiados parcialmente bien por métodos numéricos o, en la región fásica cercana a puntos de equilibrio, estudiando la estabilidad de los equilibrios relativos en el espacio reducido. Otros problemas, tras la reciente confirmación de su no integrabilidad, están aún pendientes de una reducción sistemática, y del estudio correspondiente en función de los parámetros, así como la posterior reconstrucción de la dinámica global en el espacio original.
