Numerical Comparison by Different Methods (Second Order Runge Kutta Methods, Heun Method, Fixed Point Method and Ralston Method) to Differential Equations with Initial Condition

• Diana Marcela Devia Narváez ^[1] ; Fernando Mesa ^[1] ; German Correa-Vélez ^[1]
  1. [1] Universidad Tecnológica de Pereira

     Universidad Tecnológica de Pereira

     Colombia

     
• Localización: Scientia et Technica, ISSN 0122-1701, Vol. 25, Nº. 2, 2020, págs. 307-313
• Idioma: inglés
• Títulos paralelos:
  • Comparación numérica por diferentes métodos (métodos Runge Kutta de segundo orden, método Heun, método de punto fijo y método Ralston) a ecuaciones diferenciales con condición inicial
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• Resumen
  • español

    Este documento contiene una comparación detallada entre los métodos de solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que comienzan con el método de la serie Taylor de orden 2, indicando que esta serie dificulta los cálculos para derivadas de orden superior de funciones de varias variables, de modo que los métodos de orden Runge Kutta 2 se implementan, lo que logra el propósito requerido evitando los difíciles cálculos de derivadas de orden superior. En este documento, se expondrán diferentes variantes de los métodos Runge-Kutta de orden 2 a partir de una introducción y demostración de la conexión de estos con la serie Taylor de orden 2, estos métodos son: el método de Heun, el método de punto medio y El método de Ralston. Se observará a partir de la solución de ecuaciones diferenciales de prueba su respectivo error con respecto a la solución analítica, obteniendo un índice de error dictado por el error cuadrático medio EMC. A través de este documento conoceremos la mejor aproximación numérica a la solución analítica de los diferentes PVI (problemas de valor inicial) planteados, también fijando un patrón de solución para ciertos problemas, es decir, se estipulará el método apropiado para cada tipo de problema. Se observo que método de Ralston presentó mayor exactitud seguido por el método del punto medio y el de Heun, en los demás PVI se observa que el método del punto medio proporciona la mejor solución numérica puesto que tiene un EMC muy bajo y difícil de alcanzar por los demás métodos.

  • English

    This manuscript contains a detailed comparison between numerical solution methods of ordinary differential equations, which start from the Taylor series method of order 2, stating that this series hinders calculations for higher order derivatives of functions of several variables, so that the Runge Kutta methods of order 2 are implemented, which achieve the required purpose avoiding the cumbersome calculations of higher order derivatives. In this document, different variants of the Runge-Kutta methods of order 2 will be exposed from an introduction and demonstration of the connection of these with the Taylor series of order 2, these methods are: the method of Heun, the method of midpoint and the Ralston method. It will be observed from the solution of test differential equations its respective error with respect to the analytical solution, obtaining an error index dictated by the mean square error EMC. Through this document we will know the best numerical approximation to the analytical solution of the different PVI (initialvalue problems) raised, also fixing a solution pattern for certain problems, that is, the appropriate method for each type of problem will be stipulated.It was observed that the Ralston method presented greater accuracy followed by the midpoint method and the Heun method, in the other PVI it is observed that the midpoint method yields the best numerical solution since it has a very low EMC and difficult to reach by the other methods.