Chaos in the Diamond-Shaped Billiard with Rounded Crown

• Autores: Robert P. Salazar, Gabriel Téllez, Diego F. Jaramillo C., Diego Luis González
• Localización: Revista de la Academia Colombiana de ciencias exactas, físicas y naturales, ISSN 0370-3908, Vol. 39, Nº. 151, 2015, págs. 152-170
• Idioma: inglés
• Títulos paralelos:
  • Caos en el billar de forma de diamante y corona redondeada
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  • español

    Se estudia el comportamiento de una partícula en el interior de un billar triangular donde uno de sus lados toma de medio estadio que se llamó billar diamante con corona redondeada o DSRC por su siglas en inglés. Se definió un parámetro xi que cambia suavemente la forma la frontera partiendo de un billar triangular xi = 1 a un billar DSRC xi = 1. Dicho parámetro controla la transición entre el régimen regular y caótico. Clásicamente, el sistema es regular cuando xi = 1. Por otro lado, el sistema se torna caótico para xi ≠ 1 incluyendo valores próximos a 1. Se calcula el coeficiente de Lyapunov y la entropía media de la distribución de los ángulos de incidencia para caracterizar el comportamiento caótico del sistema. Se observó un rápido crecimiento de la información de las trayectorias hasta saturar la entropía al cambiar levemente la frontera del billar triangular original. A su vez el coeficiente de Lyapunov se mantuvo positivo durante este proceso una vez que xi se alejaba de 1. Se implementó el método de diferencias finitas FDM para obtener el espectro y los estados propios de la contraparte cuántica del sistema. La distribución de espaciamiento entre primeros vecinos para varios valores de xi fue construida numéricamente para diferentes valores de xi encontrando una distribución de Poisson y otra correspondiente al ensamble ortogonal gaussiano GOE dentro de las regiones clásica y caótica respectivamente. Se identificaron cicatrices en algunos de sus estados así como estados de "bola rebotadora" con sus correspondientes órbitas periódicas. El sistema exhibe un comportamiento que está de acuerdo a la conjetura BGS y presenta las características típicas de un billar caótico como la cicatrización de la función de onda.

  • English

    We analyse the classical and quantum behaviour of a particle trapped in a diamond-shaped billiard with rounded crown. We defined this billiard as a half stadium connected with a triangular billiard. A parameter xi smoothly changes the shape of the billiard from an equilateral triangle (xi = 1) to a diamond with rounded crown (xi = 0). The parameter xi controls the transition between the regular and chaotic regimes. The classical behaviour is regular when the control parameter xi is one; in contrast, the system is chaotic when xi ≠ 1 even for values of xi close to one. Several quantities such as Lyapunov exponent and the entropy of the distribution of the incident angle are used to characterize the chaotic behaviour of the classical system. The average information preserved by the classical trajectories increases rapidly as xi is decreased from 1 and the Lyapunov exponent remains positive for xi < 1. The Finite Difference Method was implemented in order to solve the quantum counterpart of the billiard. The energy spectrum and eigenstates were numerically computed for different values of xi < 1. The spacing distribution between adjacent eigenvalues is analysed as a function of xi, finding a Poisson and a Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) distribution for regular and chaotic regimes respectively. Several scars and bouncing ball states are shown with their corresponding classical periodic orbits. On the other hand, the results found for the quantum billiard are in agreement with the Bohigas-Giannoni-Schmit conjecture and exhibits the standard features of chaotic billiards such as the scarring of the wavefunction.