Condiciones suficientes para criterios de comparación estocástica

Abstract

Uno de los principales objetivos de la Estadística es la comparación de variables aleatorias. Estas comparaciones están principalmente basadas en mediadas asociadas a dichas variables como las medias, medianas o varianzas. En muchas situaciones, estas comparaciones no resultan muy informativas, por lo que sería de interés establecer criterios de comparación más elaborados, lo que ha motivado el desarrollo de la teoría de ordenaciones estocásticas. Dicha teoría esta formada por diversos criterios que comparan distintas características asociadas a las variables, las cuáles se miden mediante funciones de interés en fiabilidad, riesgos y economía. Estas funciones están definidas en términos de ciertas integrales incompletas de las funciones cuantiles o de supervivencia. Desafortunadamente, dichas integrales no siempre tiene expresión explícita, lo cuál dificulta el estudio. A pesar de poder verificar otras ordenaciones, así como condiciones más fuertes, hay muchos casos que no están cubiertos por ninguna herramienta existente en la literatura, puesto que todas las ordenaciones son parciales. Por esta razón, una de las principales líneas de investigación dentro de este tópico es el estudio de condiciones suficientes para los distintos criterios que sean fáciles de verificar cuando las variables no se ordenen en ningún criterio más fuerte. Por ejemplo, el conocido orden creciente convexo se verifica cuando las integrales incompletas de las funciones de supervivencia están ordenadas. Sin embargo, existen muchas situaciones en las que estas integrales no tiene expresión analítica. En este caso, se puede verificar el orden estocástico, que es el criterio de comparación de localización más fuerte, el cuál se cumple cuando se ordenan las funciones de supervivencia. Este criterio es fácil de verificar siempre que las funciones de supervivencia tengan expresión explícita, pero incluso en los casos en los que no la tienen, existen condiciones suficientes en términos de las funciones de densidad. El problema es que, como ya hemos dicho, las variables no tienen por qué estar ordenadas estocásticamente. Afortunadamente, para el orden creciente convexo existen las conocidas condiciones de Karlin-Novikov que siempre se pueden verificar, ya que se establecen en términos de los puntos de corte entre las funciones de supervivencia, cuantiles o de densidad.

Nuestro principal objetivo es continuar esta línea de investigación para algunos de los órdenes más importantes en la literatura: el vida media residual, el total time on test transform, el excess wealth y el expected proportional shortfall. En detalle, lo que hacemos es estudiar condiciones suficientes para estos criterios en aquellas situaciones en las que no se verifican los órdenes más fuertes (el razón de fallo, el estocástico, el dispersivo y el estrella). Menos el estocástico, como ya hemos mencionado, estos criterios más fuertes están definidos en términos de la monotonía del cociente (o la diferencia) de las funciones de supervivencia (o cuantiles). Nuestro objetivo es establecer condiciones suficientes para los criterios mencionados en términos de los extremos relativos de dichas funciones, lo cuál es menos restrictivo que la monotonía de las mismas. Otro logro es la ordenación de distintas familias paramétricas conocidas de interés en fiabilidad, riesgos y economía, las cuáles se ordenan aplicando los distintos resultados establecidos en la tesis.

Por otro lado, la comparación estocástica de datos ordenados es también un área de investigación importante dentro de este tópico y establecemos varios resultados en esta línea. Por último, trabajamos en los órdenes estocásticos conjuntos. Estos criterios tienen en cuenta la estructura de dependencia entre las variables, lo cuál es de interés, por ejemplo, en situaciones en las que se quieren comparar los tiempos de vida de dos individuos o mecanismos que envejecen en el mismo ambiente y además dependen de dicho ambiente. También hacemos aportaciones en este área.

One of the main objectives of statistics is the comparison of random quantities. These comparisons are mainly based on measures associated to these random quantities, like the means, medians or variances. In some situations, the comparisons based only on two single measures are not very informative. The necessity of providing more elaborate comparisons of two random quantities has motivated the development of the theory of the stochastic orders. This theory is composed of different criteria which compare different characteristics measured by several functions of interest in reliability, risks and economy. Such functions are defined in terms of certain incomplete integrals of the survival or quantile functions. Unfortunately, these integrals can not be given in an explicit way in most cases, therefore we can not check directly these orders by their definitions. Even though we can verify some stronger orders or conditions, there are lots of cases which are not covered by any tool in the literature. Due to this fact, one of the main direction of research on this topic is the exploration of sufficient conditions, easy to verify, for these orders when the strongest ones do not hold. For instance, the well-known increasing convex order holds when the incomplete integrals of the survival functions are ordered. However, there are loads of situations where this integrals do not have analytical expression, which makes difficult to verify the order. In this case, we can check the stochastic order, since it is widely known that it is the strongest order to compare location and holds when the survival functions are ordered, which is a simple condition to verify, as long as the survival functions have an explicit expression; but also if this does not occurs, there exists a sufficient condition in terms of the density functions. However, there are lots of situations where the random variables are not ordered in the stochastic order. Luckily, to check the increasing convex order in this cases, there exist the renowned Karlin-Novikov conditions established in terms of the crossing among the survival, quantile and density functions, therefore these conditions can be always verified.

Our main purpose in this thesis is to continue this line of research for some of the main orders in the literature: the mean residual life, the total time on test transform, the excess wealth and the expected proportional shortfall order. Down to the last detail, we consider the situation where the strongest orders are not verified (the hazard rate, the stochastic, the dispersive and the star shaped orders, respectively), which are mainly defined in terms of the monotonicity of the ratio (or the difference) of the survival or the quantile functions. We seek an intermediate condition between the strongest order and the corresponding weaker order. Principally, we consider the situations where they have a relative extreme, a property less restrictive than being monotone, to establish several sets of sufficient conditions. Furthermore, a relevant goal of this thesis is to apply the provided results to order several well-known parametric families, which have particular interest to fit data in reliability, risks and economy.

The stochastic comparison of ordered data is another of the most important areas of research in this topic and we also provide some results in this direction.

Finally, we work on the joint stochastic orders, which take into account the dependence structure among the random variables. This is of interest, for example, if we are interested in comparing two units which are aging in the same environment and both depend on this environment. We also provide some contributions to this area.