Investigations into the role of translations in abstract algebraic logic
- Autores: Tommaso Moraschini
- Directores de la Tesis: Josep Maria Font i Llobet (dir. tes.), Ramón Jansana Ferrer (dir. tes.)
- Lectura: En la Universitat de Barcelona ( España ) en 2016
- Idioma: inglés
- Tribunal Calificador de la Tesis: Joan B. Climent Vidal (presid.), Carles Noguera i Clofent (secret.), José Gil Férez (voc.)
- Programa de doctorado: Programa Oficial de Doctorado en Lógica Pura y Aplicada
- Materias:
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: Dipòsit Digital de la UB
- Resumen
Aquesta memòria es divideix en dues parts, dedicades respectivament a dos temes diferents i alhora relacionats de lògica algebraica abstracta. En la primera part descrivim una jerarquia on es classifiquen les lògiques proposicionals L segons les condicions de definibilitat que compleixen els conjunts de veritat de la semàntica de matrius Mod*L. Més concretament, ens centrem en l'estudi de condicions de definibilitat que pertanyen al marc conceptual propi de la jerarquia de Leibniz, en el sentit que es poden caracteritzar gràcies al comportament de l'operador de Leibniz (restringit als filtres deductius). Per tant, la jerarquia que presentem és una extensió de la jerarquia de Leibniz estàndard. El nostre punt de partida és l'observació que les eines introduides per Raftery es poden fer servir per capturar el fet que la veritat sigui definible en Mod*L a través d'equacions quantificades universalment deixant lliure una variable. Estudiem la classe de les lògiques que compleixen aquesta condició i les seves relacions amb la jerarquia de Frege. Després considerem la familia de les lògiques que tenen la veritat implicitament definible en la semàntica Mod*L i provem que la injectivitat de l'operador de Leibniz no es transfereix en general de les teories als filtres deductius sobre àlgebres arbitràries, resolent un problema. No obstant això, mostrem que la injectivitat de l'operador de Leibniz sì es transfereix per a lògiques formulades en un llenguatge numerable. Finalment, considerem una condició de definibilitat intermèdia sobre els conjunts de veritat de Mod*L, que correspon al fet que l'operador de Leibniz reflecteixi l'ordre. Concloem la primera part d'aquesta memòria amb una aproximació computacional a les dues jerarquies de la lògica algebraica abstracta. Concretament, provem que els problemes de classificar la lògica d'un càlcul de Hilbert en la jeraquia de Leibniz o en la de Frege són en general indecidibles. D'altra banda, mostrem que el problema de classificar la lògica determinada per un conjunt finit de matrius finites en un llenguatge finit en la majoria dels nivells de la jerarquia de Leibniz és decidible. En la segona part d'aquesta memòria presentem una descripció algebraica i combinatòria dels functors adjunts a la dreta entre quasi-varietats generalitzades, inspirada pel treball de McKenzie. Aquest resultat s'obté desenvolupant una correspondència entre el concepte d'adjunció i el d'una nova noció de traducció entre consequències equacionals relatives. Concretament, introduim una noció de traducció que compleix la seguent condició: donades dues quasi-varietats generalitzades K i K’ cada traducció de la consequència equacional relativa a K en la relativa a K’ correspon a un functor adjunt a la dreta de K’ a K i viceversa. Aquesta correspondència entre adjuncions i traduccions proporciona una explicació general de la correspondència que apareix en algunes traduccions conegudes entre lògiques. Per exemple, la traducció de Goedel de la lògica intuicionista en la lògica modal global S4 correspon al functor que envia una àlgebra d'interior a l'àlgebra de Heyting dels seus elements oberts; i la traducció de Kolmogorov de la lògica clàssica en la lògica intuicionista correspon al functor que envia una àlgebra de Heyting a l'àlgebra de Boole dels seus elements regulars. A continuació estudiem la preservació, en presència d'una adjunció, d'algunes propietats lògico-algebraiques, tals com el teorema (contextual) de la deducció, el lema d'inconsistència o el fet de tenir una disjunció generalitzada. Concloem aquesta segona part mostrant que cada prevarietat és categorialment equivalent a la semàntica algebraica equivalent d'una lògica algebritzable.
