Vector-valued sequences and multipliers
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Publication date
2015
Reading date
30-10-2015
Authors
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Blasco de la Cruz, Óscar
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Abstract
El texto que se presenta trata de establecer un marco teórico en el que poder manejar dos nuevos conceptos (extensión de conceptos ya conocidos): los multiplicadores por coeficientes a través de una aplicación bilineal y el producto proyectivo tensorial de Hadamard. Ambos espacios se ven siempre como espacios de sucesiones a valores vectoriales, esto es, en un espacio de Banach cualquiera. Posteriormente, se estudia la relación entre ellos y se aportan algunos ejemplos.
El punto de partida del proyecto son las clases de espacios introducidas por O.Blasco y M. Pavlovic en el trabajo "Coefficient multipliers on spaces of analytic functions" (Revista Mat. Iberoamericana, 2011) donde se formaliza el problema de multiplicadores y se relaciona con ciertos productos tensoriales clásicos, definiendo las mínimas propiedades en espacios de Banach de funciones analíticas para poder desarrollar la teoría de multiplicadores, teniendo como objetivo dar la versión vectorial de los mismos.
Con este objetivo en mente, se ha decidido la división del trabajo en cuatro capítulos diferenciados. Los tres primeros fijan el contexto haciendo hincapié en ciertos aspectos que pueden dar al lector una idea más profunda del uso y de las aplicaciones de esta teoría. El último capítulo es el colofón que une los tres anteriores, confiriéndole un sentido único al texto.
De manera mas especifica, en el primer capitulo se dan los preliminares necesarios para poder abordar el problema que nos ocupa. Se presentan las herramientas precisas para comprender el escrito y sus ejemplos: los espacios de sucesiones con valores vectoriales, S(E), y los espacios de funciones analíticas en el disco, también con valores vectoriales, H(D, E).
En el segundo capitulo se determinan las condiciones mínimas que se van a exigir a los espacios de trabajo, llamados espacios S(E)-admisibles siguiendo la notación del artículo antes mencionado. Se da el caso concreto de los multiplicadores con valores en el espacio de operadores, germen del espacio de multiplicadores mediante una aplicación bilineal, B. Para poner de manifiesto la importancia de estos espacios, por un lado se da la relación de los mismos con los espacios sólidos y, por otro, se desarrolla el ejemplo de los espacios de norma mixta generalizados.
El tercero es un breve capitulo donde se dan condiciones específicas para el caso en el que los espacios de sucesiones sean una forma de representación de espacios de funciones analíticas (a través de sus coeficientes de Taylor). De nuevo, siguiendo la notación introducida por O. Blasco y M.Pavlovic, estos espacios serán notados como H(D, E)-admisibles. Ademas se aportan nuevos resultados que serán aplicados a espacios de funciones con valores vectoriales.
Por último, en el cuarto capítulo se detallan las dos construcciones arriba mencionadas: los multiplicadores a través de una aplicación bilineal y el producto tensorial proyectivo de Hadamard. Se ve la relación que existe entre ambas y finalmente se muestran casos particulares del computo del producto tensorial proyectivo de Hadamard y se aplica al calculo de multiplicadores.
A modo de conclusión podríamos decir que el caso vectorial esta lejos de seguirse de manera directa del escalar, sin embargo logramos encontrar los mecanismos para salvar estas diferencias y relacionar los espacios de multiplicadores a valores vectoriales con el producto tensorial proyectivo de Hadamard. Así, vemos como se puede resolver un problema complicado, partiéndolo en problemas mas simples o tomando caminos alternativos, siempre respaldados por un marco teórico que nos asegure la veracidad de nuestros pasos.