Complejidad y Universalidad en modelos de computación celular

• Autores: Alvaro Romero Jiménez
• Directores de la Tesis: Mario de Jesús Pérez Jiménez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2003
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Carlos Martín Vide (presid.), Delia Balbontín Noval (secret.), Gheorghe Paun (voc.), Claudio Zandron (voc.), Rudolf Freund (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen
  • español

    La Computación Celular es una disciplina que se enmarca dentro del campo de investigación conocido como Computación Natural. Tiene como objetivo fundamental el desarrollo de modelos de computación inspirados en los procesos que tienen lugar en el interior de las c&ea ... cute;lulas y que son susceptibles de ser interpretados como procedimientos de cálculo.En el presente proyecto se persiguen dos objetivos fundamentales: por un lado, se pretende establecer, y en su caso verificar, la completitud computacional de ciertas variante de sistemas P, usando herramientas distintas de las habituales; por otro lado, se pretende iniciar el desarrollo de una Teoría de la Complejidad para estos sistemas y estudiar la potencia computacional de diversas variantes.La demostración de la completitud computacional de los sistemas de computación celular suele realizarse vía los lenguajes formales. En este proyecto abordamos dicha cuestión intentando resolverla utilizando otros modelos universales, tales como las máquinas de Turing, las funciones recursivas y los conjuntos diofánticos, con la esperanza de que las técnicas de resolución de problemas desarrolladas para estos modelos se puedan de alguna manera adaptar a los sistemas P.Por otra parte, es necesario disponer de una Teoría de la Complejidad en modelos de computación celular que cuantifiquen de manera precisa la cantidad de recursos utilizados en la resolución de un determinado problema. Esto es en verdad así ya que las resoluciones en tiempo polinomial de probles "difíciles", usando estos sistemas, que se han presentado hasta el momento adolecen de cierto grado de informalidad.Esta Memoria está estructurada en dos partes bien diferenciadas. En la primera de ellas se intenta establecer un marco formal general para el estudio de los sistemas de computación celular con membranas. Además, se estudia la potencia computacional de diversas variantes de estos sistemas a través de modelos clásicos, utilizando, por tanto, una vía muy diferente de los lenguajes formales, que son los considerados habitualmente. En la segunda parte iniciamos, a partir de ideas discutidas por miembros del Grupo de Investigación en Computación Natural de la Universidad de Sevilla [27] con el fundador de la disciplina, G. Pãun, el desarrollo de una Teoría de la Complejidad Computacional para sistemas P, con el doble objetivo de determinar cuáles son las características más adecuadas de estos dispositivos a la hora de resolver problemas complejos y de disponer de una herramienta que nos permita atacar el problema P =? NP por medios no convencionales.Resumimos a continuación el contenido de cada uno de los capítulos de este trabajo.El Capítulo 1 establece los conceptos preliminares que serán necesarios a lo largo de la memoria.El Capítulo 2 presenta una introducción a los sistemas de computación celular con membranas, así como una descripción de los sistemas P de transición, que es el modelo considerado por G. Pãun en el artículo fundacional de la disciplina, por lo que cronológicamente fue el primero en aparecer. A continuación, se establece un esquema formal de definición de sistemas de computación celular, fijando los elementos que determinan la sintaxis y los que determinan la semántica de estos modelos.El Capítulo 3 comienza con la formalización del concepto de estructura de membranas, marco general donde se realizan las computaciones en los sistemas P. Posteriormente se definen con detalle las propiedades que deben cumplir los elementos de un sistema de computación celular para obtener un sistema P de transición con salida externa, modelo básico con el que trabajamos, y del cual se estudian diversas variantes en el resto de capítulos de la primera parte de esta memoria.El Capítulo 4 está dedicado al estudio de los sistemas P de transición con salida externa como dispositivos de aceptación de lenguajes. Además, dada una máquina de Turing determinista, se diseña un sistema de este tipo que la simula y se realiza una verificación formal de dicha simulación, de donde se concluye la completitud computacional de esos sistemas. En el Capítulo 5 se consideran los sistemas P de transición con salida externa como dispositivos de generación de lenguajes y, basándonos en los sistemas del capítulo anterior, se establece la completitud computacional de estos sistemas. Para ello, dada una máquina de Turing se construye un sistema de este tipo que genera, de manera no determinista, todas las posibles cadenas de entrada de la máquina, pasando a simular a continuación el funcionamiento de esta sobre dichas cadenas.En el Capítulo 6 se estudian los sistemas P de transición con salida externa como dispositivos de cálculo de funciones y se justifica su capacidad para calcular cualquier función recursiva. Para ello se describe cómo realizar composiciones, iteraciones y minimizaciones con estos sistemas.En el Capítulo 7 se presentan los sistemas P de transición con salida externa como dispositivos de generación de conjuntos de tuplas de números naturales. A partir de los sistemas considerados en el capítulo anterior, mostramos cómo con estos sistemas es posible generar cualquier conjunto diofántico, que, en virtud del teorema MRDP (de Matiyasevich, Robinson, Davis y Putnam), coinciden con los conjuntos recursivamente enumerables.La segunda parte de la memoria está dedicada a desarrollar una Teoría de la Complejidad en modelos de computación celular. En el Capítulo 8 se introducen tres clases distintas de complejidad, dependiendo de si los problemas son resueltos por familias de sistemas sin membrana de entrada, por sistemas con membrana de entrada, o por familias de sistemas con membrana de entrada.En el Capítulo 9 se estudia la relación existente entre los sistemas P de transición con salida externe como dispositivos de aceptación de lenguajes y la conjetura P ? NP de la Teoría clásica de la Complejidad. Se justifica que la clase de problemas resoluble en tiempo polinomial por estos sistemas coincide con la clase P, lo que permite establecer una caracterización de la conjetura antes citada en términos de irresolubilidad en tiempo polinomial de problemas por los sistemas descritos.El Capítulo 10 introduce un nuevo tipo de sistemas de computación celular, con un nivel adicional de paralelismo en la forma de reglas que permiten la división de membranas: los sistemas P con membranas activas. Para ello se detallan las propiedades que deben cumplir los elementos de un sistema de computación celular para que den lugar a un sistema de este tipo.Finalmente, en el Capítulo 11 se diseñan sendas familias de sistemas P con membranas activas que resuelven el problema SAT y el problema VALIDITY en el tiempo lineal, respectivamente. De donde se deduce que la clase de problemas resolubles en tiempo polinomial por familias de los sistemas considerados contiene las clases NP y coNP.

  • English

    In this paper we introduce four complexity classes for cellularcomputing systems with membranes: the first and the second ones containall decision problems solvable in polynomial time by a family ofdeterministic P systems, without and with an input membrane,respectively; the third and fourth classes contain all decision problemssolvable in polynomial time by a family of non-deterministic P systems,without and with an input membrane, respectively. We illustrate theusefulness of these classes by solving two NP�completeproblems, namely HPP and SAT, in both variants of Psystems.