Revista Ingeniería de Construcción Vol. 25 No. 1, pag. 95-120

Evaluación del efecto flexotorsor en edificios altos con la utilización del método de distribución fuerzas horizontales: PPG modificado

 

Nereyda Pupo Sintras*¹, Carlos A. Recarey Morfa**

* Universidad de Camagüey. CUBA

** Universidad Central de las Villas. CUBA

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Resumen

Se presenta de forma ilustrada la aplicación del método de distribución de fuerzas horizontales: PPG modificado. El método es aplicado a un edificio de seis niveles, cuyos rigidizadores laterales están integrados por tímpanos y pórticos distribuidos en planta de forma asimétrica. Los tímpanos son de sección rectangular y sección canal, de manera que este edificio resulta suficientemente sencillo en su concepción estructural. Esto posibilita que el análisis de la distribución de fuerzas laterales pueda llevarse a cabo utilizando los modelos y la metodología de cálculo del método mencionado. Posteriormente se establecen los resultados numéricos del comportamiento plano y espacial de los rigidizadores en términos de fuerzas y desplazamientos, evaluándose la influencia del efecto del momento flexotorsor en el tímpano de sección canal. Finalmente se comparan estos resultados con los obtenidos del análisis espacial del edificio utilizando el método de los elementos finitos sustentado por los medios de computo, estableciéndose las ventajas del método PPG modificado.

Palabras Clave: Rigidizadores, sección canal, flexotorsión, pórticos rígidos, tímpanos, carga de viento

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1. Introducción

La búsqueda de modelos y métodos de análisis bajo la óptica de tomar en cuenta la mayor cantidad de aspectos que influyen en la distribución de fuerzas laterales en edificios, es un aspecto que está en constante investigación y desarrollo.

Diferentes trabajos de investigación sobre esta temática han sido realizados por destacados especialistas, [Lin (1964)], [Hernández (1967)], [Ruiz (1975)], [Ruiz (1979)], [Gonzáles (2004)], [Fernández (1993)], [Tejera (1992)] enfocándose la temática desde diferentes puntos de vista.

En los mismos, se abordan temáticas sobre disposición de rigidizadores en planta, tipologías de rigidizadores, influencia del efecto del momento flexotorsor en estructuras monótonas así como la evaluación de la fuerza cortante con la altura entre otros aspectos.

Los procedimientos establecidos se limitan a considerar solamente la rigidez del tímpano, sin embargo es conocido que los pórticos también aportan rigidez en su propio plano [Tejera (1992)]. Los resultados que se obtienen de este enfoque resultan muy aproximados para estructuras muy esbeltas, pues se asumen los desplazamientos como funciones continuas con la altura y no como variables discretas.

Para darle solución exacta a una serie de rigidizadores que no tenían respuesta, se adecúa el método de la rigidez con enfoque matricial espacial al tema de distribución de fuerzas laterales conocido como el método PPG [Pimpo, Prendes, Gregorio (1994)], con la principal limitante que solo considera rigidez de los rigidizadores en su propio plano.

Sin embargo en la práctica de la ingeniería estructural, las secciones transversales de las estructuras resistentes verticales o rigidizadores utilizadas en estructuras de edificios altos son generalmente abiertas y con unas dimensiones tales que las tres son de diferente orden y magnitud, tales como secciones I, C, T, etc, cuando las mismas se someten a torsión, desplazamientos producto del alabeo se presentan y pueden desarrollarse altas tensiones en toda su longitud.

Este fenómeno denominado efecto flexotorsor genera un incremento significativo de rigidez que no se manifiesta en el estado de solicitación de torsión simple.

En este comportamiento las secciones transversales no se mantienen planas, alabean, por lo que no es válida la teoría de Saint Venant. La solución de este estado de solicitación en tipologías de rigidizadores de paredes delgadas se basa en la teoría de la flexión y torsión de perfiles de paredes delgadas y sección abierta desarrollada porVIasov, (1940).

Tomando en consideración este hecho físico (alabeo seccional o efecto flexotorsor), seis grados de libertad por nudo no son suficientes, siendo por tanto una necesidad la introducción de un séptimo grado de libertad asociado al mismo, es decir además del giro considerar también el alabeo de manera independiente.

Se estima entonces la rigidez a la flexotorsión con mayor precisión y claridad al considerar el giro y el alabeo de forma independiente [Fujitani, Y; Fujii, D (1998); Ruiz, S; Bonilla, O (2006); Vallecilla, (2006)].

En estos trabajos se parte de la teoría de la torsión restringida para la obtención de coeficientes de rigidez en vigas de pared delgada y de sección abierta .El desarrollo considera la acción de un nuevo elemento mecánico, el bimomento, y su grado de libertad asociado dando como resultado una nueva matriz de rigidez, que tiene como desventaja el incremento del orden, al incrementarse el número de términos.

Debido a esta limitante que lleva implícita el incremento del orden de la matriz de los rigidizadores (r¡) con estas características y por ende el incremento de la matriz general del sistema (K), se valora en este trabajo la inclusión de este efecto tomando en consideración en un solo término el efecto de giro y del alabeo, estimándose la rigidez a la flexotorsión a partir de la solución general y particular de la ecuación diferencial de cuarto orden de la torsión restringida [Vlasov, V (1961), Gutiérrez, P (1964), Ruiz, S; Bonilla, O (2006); Vallecilla, (2006)].

Este importante aspecto del comportamiento en rigidizadores de paredes delgadas y sección abierta se integra a la formulación del método PPG quedando modificado para evaluar el efecto flexotorsor en rigidizadores que por sus características geométricas pueden considerarse de paredes delgadas y sección abierta [Pupo Recarey (2001)], [Recarey, Pupo (2003)], [Recarey, Pupo (2004)].

Dada las posibilidades que tiene la formulación anterior, se expone la evaluación de este efecto en una estructura de edificio de seis niveles, empleándose el método PPG modificado. Los rigidizadores laterales están integrados por pórticos y tímpanos de sección rectangular y de sección canal, los cuales tienen la misma altura. En el ejemplo, se consideran como cargas laterales las componentes estáticas del viento.

2. Fundamentos teóricos

Los principales aspectos de la formulación inicial del método PPG y su posterior modificación (método PPG modificado) están explícitos en los trabajos precedentes de investigación de los autores [Pupo, Recarey (2001)], [Recarey, Pupo (2003)], [Recarey, Pupo (2004)], por lo que se hará énfasis en los aspectos esenciales para su correcta implementación.

Hipótesis del método

Siempre que se desee dar solución a un problema estructural es necesario realizar una modelación de la geometría de los elementos y de la edificación en su conjunto, del comportamiento de los materiales y de las cargas o acción de los agentes externos, para así concebir y establecer el modelo más apropiado o de más fácil aplicación práctica. Está claro que al realizarse la modelación, se está llevando de la estructura real a un modelo ideal equivalente y este proceso implica asumir ciertas hipótesis como válidas que simplifican el fenómeno físico real.

Cuando se establece un modelo es necesario asumir una serie de hipótesis simplificadoras que en este caso quedan delimitadas por:

•  Se supone que el material es elástico, homogéneo e isótropo.

•  Los desplazamientos son pequeños comparados con las dimensiones de la estructura de modo que puede plantearse el equilibrio en la estructura sin desplazar.

•  Los pisos (entrepisos o forjados) son infinitamente rígidos en su plano, e infinitamente flexibles en la dirección normal al mismo. Se suponen conocidas las cargas actuantes de viento y/o sismo; así como otro tipo de cargas laterales.

La solución será dada sobre la base del Método de la rigidez en su enfoque matricial. Al suponerse los entrepisos infinitamente rígidos en su plano y emplearse el método de la rigidez, los desplazamientos son las incógnitas y vienen dados por tres componentes: dos lineales ortogonales y una angular (Figura 1).

Exposición general del método

En este método de análisis de estructuras de edificios es necesario identificar el sistema de rigidizadores verticales que componen el sistema estructural, que son los encargados de soportan las cargas laterales. Después de haber precisado lo anterior se define qué método de análisis se utilizará y posteriormente se asume el sistema base.

Obtención del sistema base

Para concebir el sistema base se emplea el concepto de subestructuración y se realiza un cuerpo libre independiente de cada una de las estructuras resistentes verticales (Figura 2 y 3). Además de lo anterior se realiza de forma similar un cuerpo libre de cada una de las plantas (entrepisos o forjados) que conforman el edificio (Figura 1). En los dos subsistemas bases se toma en consideración el aporte en términos de rigidez a flexión y cortante en las direcciones ortogonales y además en los casos de estructuras resistentes verticales con comportamiento espacial se toma en consideración la torsión y flexo-torsión (en el caso de secciones abiertas).

En el subsistema base de cada nivel (forjado o entrepiso), la modelación se hará planteando tres ligaduras en cada piso, dos ligaduras lineales ortogonales y una angular (Figura 1).

Desarrollo del Método

Se sabe que la ecuación matricial del método de los desplazamientos es

P=KZ (1)

donde:

P: Vector de los términos independientes.

K: Matriz rigidez de la estructura.

Z: Vector de los desplazamientos lineales y angulares por pisos.

La matriz rigidez K es cuadrada y su tamaño es 3n x 3n, (donde n es el número de pisos o niveles que tiene la edificación). La obtención de esta matriz es fundamental siempre que se aplique el Método de la rigidez con enfoque matricial. Sustituyen en la ecuación (1) la matriz rigidez (K) y el vector de los términos independientes (P) se obtienen los desplazamientos lineales y angulares en cada nivel del edificio.

Figura 1. Sistema base de un piso cualquiera

 

Para comenzar el cálculo de K, se plantea la

Ecuación:

 

p = k-z (2)

donde:

P: Vector de las acciones de los rigidizadores sobre los pisos.

f: Vector de los desplazamientos en las direcciones de P.

k: matriz rigidez ordenada por piso.

El cálculo de la matriz K de forma indirecta es relativamente sencillo y fácil de computarizar, para ello es necesario la aplicación del Principio del Contragradiente [Pimpo, Prendes, Gregorio1994] que implica que:

La matriz C se denomina matriz conexión y C^f matriz conexión transpuesta.

Cálculo de la matriz rigidez de la edificación aplicando el método indirecto

Haciendo abstracción de las cargas Q (ya que se está calculando una rigidez y la misma es independiente de las cargas externas), se tiene para el caso general (Figura 1):

Para los restantes casos de una estructura resistente vertical plana las expresiones aparecen en la referencia [Recarey, Pupo (2003)]

Como el cálculo de la rigidez es independiente de las cargas externas, se obtiene del equilibrio por pisos, las matrices conexión traspuesta (C ¡) que puede expresarse matricialmente como se indica en la Ecuación 3:

Expresiones análogas a la (3) pueden escribirse para los demás pisos o niveles. Como todas estas expresiones son independientes entre sí, es decir, como el equilibrio se plantea por pisos o niveles individuales, la matriz conexión traspuesta de toda la estructura se escribe como:

 

donde:

C \, C ^f2....., C ^t_n : Matriz conexiones traspuestas del nivel

1,2,....,n.

n: número de niveles de entrepiso.

Por el principio del contragradiente se deduce

que:

Ahora, para calcular K por la expresión (5) solo falta obtener k por el método indirecto al que antes se hizo referencia. Para ello, se parte de la expresión (6) la cual se puede aplicar considerando la hipótesis de respuesta elástica de los materiales que conforman la edificación. Esta hipótesis es válida si se tiene en cuenta la naturaleza de las cargas (cargas de corta duración) las cuales producen acciones de carácter instantáneo sobre la estructura.

donde las fuerzas q son las mismas fuerzas p, pero ordenadas por elementos verticales (rigidizadores) y no por pisos o niveles. De la misma forma los desplazamientos y son los mismos desplazamientos z, pero ordenados igual que las fuerzas q.

Entonces r es una matriz rigidez ordenada por elementos verticales. Esta matriz se calcula por submatrices y queda expresada por:

donde:

r¡: matriz rigidez del rigidizador i.

r¡ •.: términos de la matriz rigidez que toman en cuenta los aportes a flexión, cortante, torsión y bimomento o efecto de flexo torsión.

En este proceso se considera tanto los rigidizadores planos, que pueden ser pórticos o marcos rígidos o pórticos mixtos con tímpanos de sección rectangular, como los rigidizadores espaciales que aporta rigidez en direcciones ortogonales a la torsión y a la flexotorsión (diafragmas o tímpanos de sección canal, I, etc.) cuya rigidez a la flexotorsión es significativa [Gutiérrez, 1964].

Conceptualmente se expresa que la rigidez es la acción generada por un desplazamiento unitario, esta acción puede ser una fuerza o un momento; para el cálculo de la misma en los rigidizadores, debemos establecer los tradicionales sistemas bases del método de rigidez introduciendo las ligaduras lineales y angulares, según corresponda.

A continuación se presentan dos tipos de sistemas base por rigidizadores: sistema base de un rigidizador plano y el sistema base de un rigidizador espacial, como se indican en las Figuras 2 y 3 respectivamente.

Figura 2. Sistema base de un rigidizador plano

Figura 3. Sistema base de un rigidizador espacial

Determinación de la matriz de incidencia (A) y su traspuesta (A_t)

Esta es una matriz que está compuesta por 1 y 0 y es necesaria en la obtención de la matriz k en función de r, para conformar esta matriz se ordenan los vectores desplazamientos por rigidizadores (y) y por pisos (z) , la relación entre estos vectores, se establece precisamente a través de esta matriz, es decir y = A z , de manera que:

Obtención de la matriz ordenada por pisos (k)

Esta matriz se obtiene a través de la matriz r, la matriz A y At planteándose la expresión matricial:

Determinación de la matriz rigidez ordenada por elementos verticales (r) de la estructura

Esta matriz se determina a partir de la rigidez r¡ de cada uno de los rigidizadores que componen la estructura como se expresó en el paso inicial del método. En los rigidizadores que aportan rigidez en una dirección, el orden de la matriz r¡ es de orden nxn y en los rigidizadores que aportan rigidez en direcciones ortogonales y al giro el orden de la matriz r¡ es de 3nx3n.

En los rigidizadores de sección abierta que tienen aporte espacial se introduce además el efecto del momento flexo-torsor modificándose la matriz r¡ de cada uno de estos rigidizadores, esto es, los términos múltiplos de tres que representan la rigidez al giro se sustituyen por términos de rigidez a la flexotorsión según lo expresado en la formulación modificada del método (Pupo, Recarey (2001)) cuya rigidez se estima a partir de la interpretación del modelo matemático planteado por Vlasov(1961).

Para considerar este efecto se parte de la ecuación diferencial de segundo orden de la torsión restringida

donde:

a: Parámetro torsional característico

r₃¡3¡: rigidez total considerando torsión y flexo-torsión

^r3¡3jt^: rigidez a torsión

^r3i3jft^: rigidez a flexotorsión

G: módulo de cortante.

I_t: momento de inercia a torsión.

lo> momento de inercia sectorial.

E: módulo de elasticidad o de Young

/: Distancia entre un piso y el siguiente según se muestra en el esquema genérico de un rigidizador espacial de la Figura 4.

Como se plantea, en un mismo término de rigidez se tiene en cuenta el efecto conjunto de torsión y flexotorsión y este es el procedimiento que se asume en este trabajo, de forma tal que se calculan el resto de los términos de rigidez al giro realizándose el acople necesario en función de los pisos en que incida el rigidizador.

Aunque se ha asumido el procedimiento anteriormente planteado, esto no quiere decir que sea la única vía para modelar este fenómeno, de hecho existen otros procedimientos que aparecen en publicaciones relativamente recientes para estimar la rigidez a la flexotorsión, como se expresó en la parte inicial del trabajo, donde los términos de rigidez al giro y al alabeo se calculan de forma independiente, [Fujitani, Y; Fujii, D (1998); Ruiz, S; Bonilla, O (2006); Vallecilla, (2006)].

Se presenta la matriz simplificada en el caso de una estructura resistente vertical con carga lateral en correspondencia con los modelos asumidos por Ruiz, S; Bonilla, O (2006) y Vallecilla, (2006).

Figura 4. Esquema genérico de un rigidizador espacial

En este caso los términos que toman en cuenta el efecto flexotorsor son los términos de rigidez al giro y al alabeo, es decir, S_11r S₁₂, S₂2 y S₂₄.

También se presenta la matriz simplificada en el caso de una estructura resistente vertical con carga lateral en correspondencia con el modelo para el cual se considera el giro y el alabeo de forma fragmentada, es decir, se separa el efecto flexotorsor del efecto de torsión (Fujitani,Y;Fujii, D (1998));

donde:

r_3i3j: matriz rigidez simplificada de términos de rigidez al giro

En esta forma de modelar el efecto flexotorsor las funciones hiperbólicas asumidas en los modelos de los autores Ruiz, S; Bonilla, O (2006) y Vallecilla, (2006) se sustituyen por funciones parabólicas lo que genera mayor sencillez en el análisis, solo se han representado los términos de rigidez al giro y al alabeo. Este modelo de rigidez resulta equivalente al anterior, se constata que:

Y así se establece una equivalencia entre los términos múltiplos de tres de la expresión (11) con la expresión (12), el resto de los términos correspondientes a la rigidez a flexión, son similares a los de la expresión (11).

Se observa que cualesquiera de los procedimientos mencionados pueden ser empleados para el cálculo de los términos de rigidez a la flexotorsión y luego ser introducidos los mismos en la matriz general ri del elemento resistente [Pupo, Recarey, Brizuela (2004)]. Sin embargo en este trabajo se estima la rigidez a partir de la ecuación 10, por las ventajas que este planteamiento representa como ya se explicó inicialmente.

3. Ejemplo de cálculo

Se toma para el análisis una estructura de edificio de seis niveles tipo pantalla conformada por rigidizadores mixtos pórtico-tímpano rectangular en los extremos, rigidizadores tipo pórticos en posiciones intermedias y la ubicación del rigidizador canal según se muestra en la Figura 5.

Características de la estructura de edificio:

Planta estructural tipo pantalla conformada por rigidizadores tipo tímpano rectangular ubicados en los extremos y pórtico tímpano de sección canal situado en posición intermedia, como se indica en la Figural, la misma está conformada en su totalidad por los siguientes rigidizadores:

• Tres rigidizadores longitudinales que son sólo pórticos y se identifican por los números 9,10 y 12 en la Figura 6.

•  Un rigidizador longitudinal que es en parte tímpano canal y en parte pórtico, se identifica por el número 11 en la Figura 6.

•  Cuatro rigidizadores transversales que son solo pórticos y se identifican por los números 2, 3,4, 5, 6 y 7 en la Figura 6.

•  Dos rigidizadores transversales que son tímpanos rectangulares 1,8 en la Figura 2, están en posiciones extremas en la estructura del edificio.

Figura 5. Estructura de edificio conformada por diferentes tipos de rigidizadores

Figura 6. Planta de la estructura de edificio conformada por diferentes tipos de rigidizadores

En la Tabla 1, se representan los valores de la carga lateral de viento como fuerza horizontal externa considerada en los cálculos según la normativa vigente [NC 285-2003] y en la Tabla 2 se indican las dimensiones y propiedades de los diferentes rigidizadores presentes en el sistema estructural.

Tabla 1. Fuerza del viento concentrada en cada nivel

Tabla 2. Datos de la geometría y propiedades de los materiales de los rigidizadores

A_c: Sección transversal de las columnas (0.3mx0.3m) A_v: Sección transversal de las vigas (0.3m x 0.4m) dr: Espesor del tímpano o diafragma de sección rectangular en m

8_C: Espesor del tímpano de sección canal en m E_n: Módulo de Elasticidad del hormigón en kPa. G: Módulo de Cortante en kPa

Procedimiento:

Se precisarán los análisis realizados para establecer la comparación entre los procedimientos empleados, es decir los modelos que se emplean según el método PPG modificado y la modelización de la estructura en su conjunto a través del método del elemento finito asistido por computadora, son tres análisis (A, B y C) que se describen a continuación:

Análisis A. Modelación espacial de la estructura mediante el método PPG modificado. Todos los rigidizadores son planos.

Se establece la modelización espacial de la estructura según el método PPG modificado considerándose que los rigidizadores son planos, es decir sólo aportan rigidez lateral a la flexión y cortante en su plano, no se considera la torsión, estas rigideces son calculadas por programas de computación, posteriormente se realizan las operaciones matriciales para finalmente obtener los desplazamientos en cada nivel y los desplazamientos y fuerzas en cada rigidizador del sistema estructural analizado.

Análisis B. Modelación espacial de la estructura mediante el método PPG modificado. Se analiza el rigidizador espacial canal de sección abierta.

Se establece la modelización espacial de la estructura según el método PPG modificado como en el caso anterior, pero se incorpora el rigidizador canal de sección abierta con comportamiento espacial, en el cual se tiene en cuenta la rigidez en direcciones ortogonales, a la torsión y a la flexotorsión, estas rigideces también son calculadas mediante programas de computación y como en el caso anterior se realizan las operaciones matriciales para la obtención de los desplazamientos por niveles, las fuerzas y los desplazamientos por rigidizadores presentes en el sistema estructural estudiado, en este caso la matriz rigidez del rigidizador espacial se modifica incluyéndose los términos de rigidez a la flexotorsión, según Ecuación 8.

Análisis C. Modelación espacial mediante el método de los elementos finitos asistido por medios de computo. Se establece la modelización espacial de la estructura mediante el método de los elementos finitos. Se utiliza un programa de computación especializado (STAAD.pro2006). Para el proceso de modelación de la geometría se seleccionan elementos rectangulares tipo shells de 30x30 cm, adecuados para la configuración regular de la estructura analizada. Se asume que todos los rigidizadores son espaciales.

Procedimiento empleado en correspondencia con los análisis indicados.

Análisis A:

Se determinan las siguientes matrices para el cálculo:

a) Matriz rigidez de cada rigidizador (r¡)

b) Matriz rigidez diagonal por rigidizadores verticales (r).

c)   Matriz de incidencia (A) y su traspuesta (A_t).

d)  Matriz rigidez de rigidizadores (k).

e) Matriz conexión traspuesta (C ') y (C).

f)   Matriz rigidez del sistema estructural (K)

g) Matriz rigidez de cada rigidizador (r¡)

Matriz rigidez de los rigidizadores tipo tímpanos 1y 8 de orden 6x6.

Matriz rigidez de los rigidizadores 2, 3, 4, 5,6 y 7 de orden 6x6.

Matriz rigidez de los rigidizadores 9,10 y12 de orden 6x6.

Matriz rigidez de rigidizador 11 de orden 6x6.

Matriz rigidez diagonal por rigidizadores verticales (r)

La matriz r está conformada por los r¡ en la diagonal principal lo que equivale a que sea de orden 72x72.

c) Matriz de incidencia (A) y su traspuesta (A_t)

La matriz de incidencia (A) es una matriz de 1 y 0, para relacionar los desplazamientos ordenados por rigidizadores (y¡) con los desplazamientos ordenados por pisos (z¡), por lo que también es de orden 72x72, y su traspuesta es obvio que tiene este mismo orden. El ordenamiento de los desplazamientos verticales se realizó comenzando por el rigidizador 1 y así sucesivamente, al igual que en cada piso, comenzando por la primera planta.

d) Matriz rigidez de rigidizadores (k)

La matriz rigidez k se obtiene pre y post multiplicando la matriz r por la matriz traspuesta de incidencia y la matriz sin trasponer respectivamente obteniéndose como es lógica, una matriz resultante de 72x72.

e) Matriz conexión traspuesta (C^l) y (C)

La matriz conexión traspuesta está compuesta en su diagonal por las matrices conexiones traspuesta de cada piso, que en este caso, C *¡ son iguales, por tener la misma cantidad de rigidizadores en cada piso y en la misma posición.

Matriz rigidez C '•) correspondiente al primer piso de orden 3x12.

La matriz C* compuesta por las C'¡ en su diagonal es de orden 18x72 y C es de orden 72x18

f) Matriz rigidez del sistema estructural (K)

La matriz K se obtiene pre y post multiplicando la matriz k<| por la matriz conexión traspuesta y la matriz sin trasponer respectivamente como se muestra:

que se corresponde con el orden de 3nx3n.               

Matriz rigidez del sistema (K_18x18)

Con la obtención de esta matriz y el vector de los términos independientes P, se pueden obtener los desplazamientos por pisos aplicándose la Ecuación (1) a su vez con el vector Z¡_(18x18), se obtienen los desplazamientos en cada rigidizador, z¡ q₂\72) y finalmente se obtienen las fuerzas en cada rigidizador, p¡(72_X72)/ ^estos resultados se muestran en las tabla resúmenes III, IV, V, VI y Vil.

Análisis B:

a) Matriz rigidez de cada rigidizador (r¡)

Se modifica la matriz del rigidizador 11 por considerarse aporte espacial con efecto flexotorsor considerado, que ahora pasa a ser de orden 18x18.

Matriz rigidez del rigidizador 11

Los términos r₃¡_3j- son modificados con la inclusión del efecto flexotorsor según Ecuación 8, realizándose el acople correspondiente para la determinación de todos los términos múltiplos de tres en los seis niveles de la estructura en que este rigidizador incide.

a) Matriz rigidez diagonal por rigidizadores verticales (r)

La matriz r pasa a ser de orden 84x84, por adicionarse dos componentes de rigidez por piso.

b)  Matriz de incidencia (A) y su traspuesta (A_t)

Ambas matrices también tienen el mismo orden que r como en el caso anterior, el orden de 84x84.

c) Matriz rigidez de rigidizadores (k)

Esta matriz como es lógico también tiene el orden de 84x84.

d) Matriz conexión traspuesta (O) y (C)

Las matrices C'¡ pasan a ser de orden 3x14, de manera que la matriz C* tiene orden 18x84 y C de 84x18.

Matriz de rigidez C\ del primer piso

e) Matriz rigidez del sistema estructural (K)

Como se observa el orden de la matriz del sistema no se altera, sin embargo difiere de la anterior en que los términos de rigidez varían su magnitud, pues se está considerando el aporte espacial de un rigidizador.

De igual manera que en el análisis A, se calculan los valores de desplazamientos por niveles Z¡, z¡ y p¡ y las magnitudes se resumen en las Tablas indicadas.

Análisis C:

Los resultados de la modelación en 3D realizada a través del STAAD.pro en términos de desplazamientos en cada nivel, se resume en la Tabla 3.

Tabla 3. Desplazamientos por niveles (Z¡) en cada tipo de análisis

Notación:

Z¡(_x): Desplazamientos lineales en los distintos niveles en el sentido del eje x global.

Z_i(z): Desplazamientos lineales en los distintos niveles en el sentido del eje z global

Z¡_(ry): Desplazamientos angulares en los distintos niveles en el sentido del eje y global

Observaciones: Los desplazamientos lineales por niveles (Z¡) tienen signos negativos, esto significa que ocurren en la dirección positiva de los ejes de referencia en correspondencia con el convenio asumido para la fuerza actuante, pues la misma se considera negativa si está en la dirección positiva de dichos ejes como se muestra en el sistema base por pisos (Figura1), en el caso de los desplazamientos angulares el positivo significa que el giro es antihorario.

Tabla 4. Desplazamientos lineales y angulares en los rigidizadores componentes. Análisis A

Tabla 5. Desplazamientos lineales y angulares en los rigidizadores componentes .Análisis B

Tabla 6. Fuerzas que se distribuye a cada rigidizador del sistema. Análisis A

Observaciones: Los signos de las fuerzas se interpretan de acuerdo al convenio asumido en el método PPG modificado y las unidades vienen dadas en el SIU, es decir las fuerzas se expresan en kN y los momentos de fuerzas en kN-m.

Tabla 7. Fuerzas que se distribuye a cada rigidizador del sistema. Análisis B

Tabla 8. Desplazamientos en rigidizadores. Análisis C

Tabla 9. Porcentaje (%) de absorción de las cargas laterales por parte de los rigidizadores (pórticos y tímpanos)
en correspondencia con el Análisis A

Tabla 10. Porcentaje (%) de absorción de las cargas laterales por parte de rigidizadores (pórticos y tímpanos) en correspondencia con el modelo B

4. Evaluación de los resultados

Referido al trabajo conjunto de pórticos y tímpanos , en este caso, un edificio de 6 niveles (pocos pisos) , convenientemente rigidizado por tímpanos de sección rectangular cuya relación altura a longitud de los mismos es relativamente pequeña ( h/l < 2), no se presenta la interacción compleja que sucede cuando el edificio tiene varios niveles, por lo que en este edificio los tímpanos son los que absorben el mayor porcentaje de las cargas laterales desde el piso 1 hasta el piso 6, debido a que presentan mayor rigidez que los pórticos en toda la altura del edificio.

En el Análisis A, tanto los pórticos como los tímpanos se desplazan igual, describiéndose la misma deformada según se muestra en el Gráfico 6 y los valores de desplazamientos se observan en la Tabla 4. Este comportamiento se origina debido a que no se considera el efecto de rigidez ortogonal (en dirección de la carga) del tímpano canal, lo que hace que la estructura sea simétrica y se verifique una traslación uniforme en todos los pisos.

El mayor porcentaje de la absorción de las cargas es tomado por los tímpanos desde el nivel 1 hasta el nivel 6, como se muestra en la Tabla 9.

En el Análisis B, los pórticos y los tímpanos, en este caso, se desplazan de manera diferente, según se muestra en el Gráfico 7 y los valores de desplazamiento se observan en la Tabla 5. Este comportamiento a diferencia del modelo anterior se fundamenta en el hecho en que se esta considerando aporte espacial con efecto flexotorsor del rigidizador canal. Este modelo, más cercano a la realidad, establece la asimetría de la planta y la no coincidencia del centro de cortante con el centro de gravedad generándose la torsión, se verifica por lo tanto una redistribución de las cargas laterales que aunque el mayor porciento sigue siendo tomado por los tímpanos rectangulares, es significativo notar que el tímpano canal también llega a absorber hasta un 1 7 % de esta carga en el nivel 3.

El porcentaje de la absorción de las cargas laterales por parte de los pórticos es despreciable en relación a los tímpanos mencionados debido a su menor rigidez, esto se verifica desde el nivel 1 hasta el nivel 6 como se presenta en la Tabla 10.

En el Análisis C, los pórticos y los tímpanos se desplazan de forma similar y semejante al comportamiento que ocurre en el modelo A, esto se fundamenta en el hecho de que aunque en la modelación del edificio se considera aporte espacial de todos los rigidizadores, la rigidez a la torsión es despreciable tanto en los pórticos como en tímpanos de sección rectangular y de sección abierta (canal) como se muestra en los Gráficos 8 y 9 y la magnitud de los desplazamientos aparece en la Tabla 8. Al mismo tiempo, el efecto flexotorsor no se considera, esto hace que este comportamiento difiera del modelo B, en el cual si se considera este efecto durante el proceso de modelación del sistema estructural.

El empleo del método de los elementos finitos en este caso garantiza resultados exactos por una parte, por tratarse de geometrías regulares y comportamiento elástico y lineal, pero no contempla automáticamente el análisis del efecto flexotorsor en los tímpanos de sección abierta, dado que no está implícito en el proceso de fundamentación teórica del software especializado empleado, por otro lado, el volumen de resultados es numeroso, se obtienen tensiones y desplazamientos por nodos de los elementos finitos que componen la geometría de los tímpanos analizados, pero no se conoce de forma explícita la fuerza que recibe cada rigidizador, ni las solicitaciones de momento flector y cortante en los tímpanos, lo que resulta una desventaja de este análisis.

Como tendencia los desplazamientos que se generan del análisis espacial B resultan ser menores en magnitud que los obtenidos del análisis A y del análisis C, esto se fundamenta por considerarse en el análisis B mayor rigidez, con la introducción del efecto flexotorsor en el tímpano de sección canal, según se muestra en el Gráfico 5.

Estos resultados fundamentan la importancia que tiene la tipología y posición en planta de rigidizadores de paredes delgadas y de sección abierta en relación al resto de los rigidizadores, de manera que se garantice reducciones significativas del ángulo de torsión y distribución racional de las fuerzas actuantes entre los rigidizadores que participan como estructuras verticales resistentes.

5. Conclusiones

Se constata la influencia que tiene en el comportamiento espacial de un sistema estructural, la presencia de un rigidizador de pared delgada y de sección abierta, pues se produce una disminución significativa en la magnitud de los desplazamientos, así como, se manifiesta la distribución de la carga externa de forma racional entre los rigidizadores que participan en el sistema.

El método PPG modificado cubre un amplio espectro de soluciones estructurales de rigidización vertical, como son tímpanos y pórticos combinados (o aún la combinación de ambos en un mismo rigidizador), no paralelismo de estos elementos en todos los pisos y niveles de cimentación a distinta altura.

También pueden aparecer tímpanos con huecos, tímpanos con rigidez a la torsión apreciable y tímpanos en que las tensiones producidas por el bimomento y el momento flexotorsor son considerables.

Este último aspecto tratado en detalle en este trabajo le concede al método generalidad incomparablemente mayor en relación a su formulación inicial y también resulta ventajoso comparado con los software especializados que no reflejan este comportamiento.

La hipótesis considerada es la de entrepiso rígido, sin embargo los autores de este artículo trabajan en la formulación para entrepisos flexibles en su propio plano.

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Fecha de recepción: 26/ 10/ 2009
Fecha de aceptación: 20/ 01 / 2010

1Autor de correspondencia : E-mail: nereyda.pupo@reduc.edu.cu