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INTRODUCCIÓN
El aprovechamiento forestal está ligado al inventario forestal, pues permite obtener información cuantitativa sobre las variables de crecimiento en altura total (at) y diámetro normal (dn), que son necesarias para la estimación volumétrica en distintas especies de interés, donde la medición de la altura en campo resulta difícil y su estimación está propensa a errores en bosques densos (Guzmán-Santiago et al. 2019). Sin embargo, cuando se carece del árbol en pie provocado por diversos factores en su derribo (forma legal, ilegal o natural), solo permanece como evidencia los tocones de los árboles (Martínez-López y Acosta-Ramos 2014, Şahin et al. 2019). No obstante, el tocón o tronco es una porción del árbol que queda al ser eliminado de su sitio y este es una variable indicativa de sus dimensiones (Diéguez-Aranda et al. 2003).
El diámetro del tocón (dt) permite estudiar diversas variables de la masa forestal que hubo en algún momento, por ejemplo, el diámetro basal original, la distribución de las especies de los individuos, la distribución de las clases de tamaños de los árboles del rodal, la determinación de especies extraídas, la anatomía de la madera, la biomasa o la cantidad de carbono, entre otras (Milios et al. 2016); sobre todo para estimar el dn (Sakici y Özdemir 2017). Es decir, el dt permite reconstruir el arbolado removido a través de regresiones lineales y no lineales, que predicen el diámetro normal, la altura total y el volumen fustal (García-Cuevas et al. 2017a). Esto resulta útil para calcular la pérdida (incendios, tala clandestina y plagas) o cosecha de volúmenes de los árboles (Corral-Rivas et al. 2007).
En México, autores como Vargas-Larreta et al. (2017), en colaboración con diversas instituciones crearon el Sistema Biométrico Forestal (SiBiFor 2016), que es un catálogo que integra distintas ecuaciones biométricas para 97 especies, en climas templados y tropicales. Sin embargo, aún falta por incluir en la plataforma SiBiFor diversas ecuaciones que estimen el volumen del árbol a partir de las dimensiones del tocón para ciertas especies.
De esta destaca, el género Abies que es la segunda pinácea maderable de mayor importancia económica en el país y que contribuye con el 2,8 % de la producción maderable anual (SEMARNAT 2016). La superficie que ocupa dentro del territorio del país oscila entre 0,07 % y 0,16 %, y su distribución se presenta en forma de parches aislados (INEGI 2017). Cabe destacar que estudios de este tipo son escasos en México, lo cual es relevante al facilitar a los técnicos y silvicultores las estimaciones de existencias volumétricas de sus bosques, así como de información precisa para la toma de decisiones sobre el manejo de esta especie.
Se planteó como hipótesis que el diámetro del tocón de los árboles es una variable apropiada para estimar la variabilidad de diámetro normal, la altura total y el volumen del fuste. Así mismo, el objetivo fue ajustar ecuaciones alométricas para la estimación del diámetro normal (dn), altura total (at) y volumen (v) fustal total a partir del diámetro del tocón (dt) para Abies religiosa Kunth Schltdl. & Cham. en diferentes regiones de México.
MÉTODOS
Área de estudio
Se consideraron ocho entidades federativas de México, donde se encuentran 20 Unidades de Manejo Forestal (UMAFOR), las cuales fueron: Guerrero (UMAFOR nº 1.203), Hidalgo (UMAFOR nº 1.303), Jalisco (UMAFOR nº 1.404, 1.406, 1.410), Estado de México (UMAFOR nº 1.503, 1.507, 1.508, 1.509, 1.510) Michoacán (UMAFOR nº 1.604, 1.605, 1.608), Puebla (UMAFOR nº 2.101, 2.105, 2.108), Tlaxcala (UMAFOR nº 2.901, 2.902) y Veracruz (UMAFOR nº 3.004, 3.012).
Tamaño de muestra
Mediante un muestreo aleatorio se colectaron 2.599 árboles, distribuidos aleatoriamente en áreas autorizadas para aprovechamiento forestal de cada UMAFOR; en la que se cubrió todas las categorías diamétricas posibles (> 5 cm) (figura 1). Se empleó un muestreo destructivo que consistió en derribar, seccionar y medir los árboles. En cada sitio el diámetro normal fue medido con cinta diamétrica alemana Forestry Suppliers, Inc. P.O.BOX 8397 o con forcípulas tradicionales y para la medición de las alturas en pie se utilizó un Hipsómetro haga. Los árboles derribados se midieron usando el flexómetro Uline Accuc-Lock H-1766.
Figura 1 istribución de las categorías diamétricas de todas las UMAFORs de la especie en estudio. Distribution of the diameter categories of all the UMAFORs of the species under study.
Todas las variables se midieron la altura mínima del corte 0,30 m (altura del tocón) de los árboles y posteriormente se realizó otro corte más de 0,30 m. La siguiente sección fue en el diámetro normal (1,30 m del suelo), y en seguida las demás secciones fueron cortadas a 2,54 m de longitud hasta llegar a la punta del árbol. Este criterio se definió con la finalidad de que las trocerías pudieran ser aprovechadas por los propietarios. La muestra de cada UMAFOR fue altamente heterogénea con coeficientes de variación entre 21,07 y 123,19 % (cuadro 1).
Cuadro 1 Estadísticas descriptivas de las variables evaluadas del arbolado por UMAFOR. Descriptive statistics of the tree variables evaluated by UMAFOR.
donde: dt = diámetro del tocón a 0,30 m (cm); dn = diámetro normal a 1,30 m (cm); at = altura total (m); v = volumen del fuste (m3), n = número de observaciones; Var = variables, Máx = máximo; Prom = promedio Mín = mínimo; DE = desviación estándar, CV % = coeficiente de variación, EME = error medio estándar.
Ecuaciones utilizadas
Se analizaron siete ecuaciones no lineales y uno lineal para el ajuste del diámetro normal, altura total y el volumen comercial (ecuación 1 a 8).
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donde: dn = diámetro normal (cm), at = altura total (m), v = volumen (m3), dt = diámetro del tocón (cm), bi = parámetros del modelo.
Cálculo de volumen por árbol
Para las secciones que tienen la forma de un cilindro y paraboloide fueron cubicadas con la fórmula de Smalian (ecuación 9); mientras que en la última sección (punta del árbol) se utilizó la expresión del cono (ecuación 10). El volumen de fuste se consideró como la suma de los volúmenes de todas las trozas.
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donde: S1 = superficie de la sección menor (cm2), S2 = superficie de la sección mayor (cm2), Sb = superficie de la base (cm), L = longitud (m) y V = volumen (m3).
Método de ajuste y selección de las ecuaciones
Para el ajuste se utilizó PROC MODEL con el método de máxima verisimilitud con información completa (FIML) con la finalidad de generar estimaciones consistentes, empleando el software Statistical Analysis Systems (SAS 2008).
La eficiencia del modelo para cada UMAFOR fue medida a través de los criterios estadísticos, como el coeficiente de determinación ajustado (R2 adj, ecuación 11); donde los mejores valores son aquellos cercanos a 1 y permite observar la variabilidad total que es explicada por las variables predictivas de la ecuación; la Raíz del Error Medio Cuadrático (REMC, ecuación 12) que debe aproximarse a cero; el sesgo (ē, ecuación 13) donde el promedio de los residuales debe ser igual a cero para que el estimador sea centrado o insesgado y el logaritmo de verosimilitud (Loglik, ecuación 14) es considerado mejor, cuando se obtienen valores más altos.
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donde: p = número de parámetros a estimar; n = tamaño de muestra; Yi = valores observados; Y = valores estimados; 
= valor promedio, 
= constante 3,1416, s2 = varianza del error, s = desviación estándar.
Para una mejor selección de las ecuaciones se analizaron de manera implícita los gráficos de residuales contra valores predichos, siendo esta como la mejor opción; y para un mayor convencimiento de esto se ilustra más adelante los residuales del volumen de la mejor ecuación.
Análisis de heterocedasticidad
En el ajuste de las ecuaciones de volumen frecuentemente existe problemas de heterocedasticidad, debido a que árboles de mayores dimensiones, generan mayor variación del volumen estimado. Por lo tanto, este problema fue corregido con la finalidad de garantizar buenas estimaciones. La varianza σ i 2 que es desconocida se estimó con una función exponencial σ i 2 = γ D K . Los valores de γ y del exponente 𝐾 se optimizaron a través de la metodología propuesta por Harvey (1976); que consiste en emplear los errores del modelo ajustado sin pesos como variable dependiente, en el modelo potencial de varianza del error. Quedando finalmente de la siguiente forma.
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RESULTADOS
Relación diámetro normal-diámetro del tocón (dn-dt)
Mediante los criterios de bondad de ajuste (R2 adj, REMC, e y Loglik) y valores significativos de los parámetros (P < 0,0001), sugirieron seleccionar la ecuación alométrica (potencial o multiplicativo, 3) para estimar el diámetro normal con mayor precisión. En este sentido considerando el valor del R2 adj el dt explicó el 91 % o más de la variación en el diámetro normal (excepto en los datos de la UMAFOR 1.303). Así mismo, se obtuvieron valores de la REMC ≤ 4,75 cm. Estas relaciones presentaron sesgos confiables para las UMAFOREs, como la sobreestimación y subestimación de los diámetros, pero a nivel de milésimas de centímetro por árbol individual; además de sus respetivos logaritmos de verosimilitud (Loglik) que fueron más altos respecto a la varianza del error (cuadro 2).
Cuadro 2 Valores de los estadísticos de bondad de ajuste y estimadores de los parámetros de la ecuación potencial (3). Values of the goodness-of-fit statistics and estimators of the parameters of the potential equation (3)
donde: P = parámetros, EP = estimadores de los parámetros, EE = error estándar, Pr>|t| = nivel de significancia para los parámetros estimados, e = sesgo, REMC = raíz del error medio cuadrático, R2 adj = coeficiente de determinación ajustado, Loglik = logaritmos de verosimilitud.
Relación altura total-diámetro del tocón (at-dt)
Con base a los valores de los estadísticos de bondad de ajuste se seleccionaron dos ecuaciones para las predicciones de la altura total, donde la ecuación 4 (Schumacher exponencial (1939)) fue más precisa en las UMAFORs 1.303, 1.406 y 2.902, mientras que el resto de los casos tuvo mejor rendimiento la ecuación 6 (alométrico) para describir la relación de los datos. El REMC fue menor a 5,03 m con sesgos entre 0,05 a -0,07 m, por lo tanto, en la mayoría de los casos las ecuaciones sobreestiman (en centésimas de metros) la altura total del árbol.
En este caso el diámetro del tocón explicó más del 50 % (R2 adj) de la variación de la altura total del árbol en cada UMAFOR y se complementa con los valores de maximiza verosimilitud (Loglik), en el cual evidenció que las regresiones predicen de buena forma, al sobreestimar ligeramente los datos. Es común, que estos tipos de ajustes en altura total no se tengan valores deseables en cuanto a la REMC y R2 adj, como sucede en otras variables; ya que la altura es afectada por distintos factores, sobre todo por la calidad del sitio donde se desarrolla cada individuo (Diéguez-Aranda et al. 2003) (cuadro 3).
Cuadro 3 Valores de los estadísticos de bondad de ajuste y estimadores de los parámetros de las ecuaciones que estiman la altura total. Values of the goodness-of-fit statistics and estimators of the parameters of the equations that estimate the total height
donde: P = parámetros, EP = estimadores de los parámetros, EE = error estándar, Pr > |t| = nivel de significancia para los parámetros estimados, e = sesgo, REMC = raíz del error medio cuadrático, R2 adj = coeficiente de determinación ajustado, Loglik = logaritmos de logaritmos de verosimilitud, Ec = ecuaciones.
Relación volumen de fuste-diámetro del tocón (v-dt)
La ecuación Schumacher (8) presentó sesgos negativos bajos, lo cual significa que los datos subestiman ligeramente para todos los casos con niveles de milésimas la predicción a nivel de árbol individual (información que se complementa en la figura 2). De igual forma, se observan valores de REMC que oscilan entre 0,00001 a 0,0026 m3 con coeficiente (R2 adj) que explica más del 74 % la variación de los datos observados en cada UMAFOR. Esta información cuantitativa fue sustentada en los logaritmos de verosimilitud (Loglik) obtenidos, los cuales mostraron los mejores valores con respecto a la varianza (cuadro 4).
Cuadro 4 Estadísticos de ajuste y estimadores de los parámetros del modelo de Schumacher (8). Fit statistics and estimators of the parameters of the Schumacher model (8).
donde: P = parámetros, EP = estimadores de los parámetros, EE = error estándar, Pr > |t| = nivel de significancia para los parámetros estimados, e = sesgo, REMC = raíz del error medio cuadrático, R2 adj = coeficiente de determinación ajustado, Loglik = logaritmos de logaritmos de verosimilitud.
La corrección de la heterocesdaticidad de la ecuación de volumen mostró una adecuada distribución de los residuos al incluir la función de potencia (16) ya descrita en la metodología, evidenciando así una distribución normal (figura 2).
Figura 2 Volumen fustal predicho vs residuales, donde: A = 1.203, B = 1.303, C = 1.404, D = 1.406, E = 1.410, F = 1.503, G = 1.507, H = 1.508, I = 1.509, J = 1.510, K = 1.604, L = 1.605, M = 1.608, N = 2.101, O = 2.105, P = 2.108, Q = 2.901, R = 2.902, S = 3.004, T = 3.012. Predicted forest volume vs. residuals, where: A = 1.203, B = 1.303, C = 1.404, D = 1.406, E = 1.410, F = 1.503, G = 1.507, H = 1.508, I = 1.509, J = 1.510, K = 1.604, L = 1.605, M = 1.608, N = 2.101, O = 2.105, P = 2.108, Q = 2.901, R = 2.902, S = 3.004, T = 3.012
DISCUSIÓN
Relación dn-dt
Se ha documentado en diversos estudios que las ecuaciones lineales y no lineales tienen la capacidad de describir los datos con base a su estructura (Şahin et al. 2019). En este contexto el modelo alométrico (potencial o multiplicativo) presentó mejor rendimiento en estimar el diámetro normal de cada una de las UMAFORs con valores de R2 adj > 86 % y REMC < 4,75 cm. Esto puede constatarse con los resultados obtenidos por García-Cuevas et al. (2017a) con la misma especie en Tancítaro, Michoacán al explicar un 99,2 % (R2 adj) de la variabilidad de los datos y una REMC de 3,16 cm. Además de la evidencia proporcionada por García-Cuevas et al. (2016), los resultados fueron superiores al 90 % en Abies religiosa en la misma región con diferentes ecuaciones.
Sakici y Özdemir (2017) también sustenta estos resultados al obtener ganancias significativas en Abies nordmanniana Spach (REMC = 3,96 y 1,96 cm) y en Fagus orientalis Lipsky con coeficientes (R2 adj) mayores al 95 % y una REMC de 3,62 a 1,96 cm, en diferentes dimensiones del tocón. Además, de proporcionar ganancias significativas en Quercus petraea (Matt.) Liebl. distribuidos en diferentes sitios y edades, con un R2 adj entre 91 y 92 % en Turquía (Özdemir et al. 2020).
Otras regresiones no lineales han brindado confiabilidad para predecir los diámetros en especies tropicales con R2 adj del 92 al 97 % sobre la variabilidad de datos, con REMC que van de 6,53 a 2,10 cm (García-Cuevas et al. 2017b). No obstante, Milios et al. (2016) con una ecuación de tipo cuadrática han evidenciado ajustes significativos de R2 adj > 92 % y REMC < 2 cm para Quercus frainetto Ten. bajo diferentes rodales en Grecia.
En otros estudios, las funciones lineales han estimado adecuadamente los datos, dado que no siempre las ecuaciones complejas predicen con mayor precisión, esto al ser más parsimonioso en su estructura; y prueba de ello se puede se encuentran estudios de Quercus laurina Bonpl. con 90 % (Martínez-López y Acosta-Ramos 2014). De manera similar Quiñónez-Barraza et al. (2012) obtuvieron valores superiores a 95 % con referencia a los datos y errores (REMC) menores a 2,27 cm para diferentes especies de clima templado de México. Así mismo, Flores-Morales et al. (2019) obtuvieron estadísticos con R2 adj > 0,90 y REMC de 2,23 cm, para Pinus pseudostrobus Lindl. en el sureste de Nuevo León, México.
Los valores que toman los estadísticos de bondad de ajuste están en función de la muestra representativa y de algunos factores (densidad, calidad de los datos, entre otros), tal como lo señalan García-Cuevas et al. (2016, 2017a) para la misma especie (Abies religiosa). Los resultados de este trabajo son aceptables al obtener valores desde 86 % a 98 % en R2 adj de acuerdo con lo señalado por Gujarati (2004); sobre todo, por ser una ecuación biológicamente flexible al tener pocos parámetros, misma que facilita su aplicación.
Relación at-dt
Para la predicción de la altura total, en algunas UMAFORs se consideró el modelo de Schumacher exponencial (Schumacher 1939) y en otras la expresión alométrica (potencial o multiplicativo) con valores del R2 adj entre 50, 72 y 86 % con raíz del error medio cuadrático (REMC) menores a 5,03 metros y sesgos que oscilan de 0,05 a -0,07 respectivamente.
A pesar de que algunos autores, como García-Cuevas et al. (2017a) han obtenido bondades de ajustes que explican un coeficiente (R2 adj) de 93,5 %, con sesgos de 0,004 y REMC de 2,51 m para la misma especie (A. religiosa) y Martínez-López y Acosta-Ramos (2014), un R2 de 97 % para Quercus laurina en Ixtlán, Oaxaca; y que son superiores a lo de esta investigación; no siempre es así dada las implicaciones de una serie de factores ambientales pues esta variable (at) es más difícil de modelar (Diéguez-Aranda et al. 2003), teniendo en cuenta las condiciones de estructura vertical / horizontal que pueda tener el rodal (i.e. competencias de copas), sin desmeritar el hallazgo de este estudio.
Lo anterior, se puede constatar en los resultados para especies tropicales en Quintana Roo, México, al obtener valores hasta de 37 % con errores de 3,45 m (García-Cuevas et al. 2017b). Así como en las investigaciones de Quiñónez-Barraza et al. (2012), al seleccionar un modelo lineal que explica entre 47 y 72 % de la variabilidad de los datos observados, y REMC entre 3,28 a 2,46 m, para modelar Pinus arizonica Engelm., P. ayacahuite Ehrenb. ex Schltdl., P. durangensis Martínez, P. leiophylla Schiede ex Schltdl. & Cham., P. teocote Schiede ex Schltdl. & Cham., y Quercus sideroxyla Bonpl en Durango. A esto se suman las evidencias de Flores-Morales et al. (2019) al reportar estadísticos de R2 adj = 63 % y REMC de 2,94 m para P. pseudostrobus Lindl. En Nuevo León, México con una función polinomial.
El modelo de altura-diámetro propuesto por Guzmán-Santiago et al. (2019), para la misma especie en distintas zonas de México, sin duda podrá complementarse con estos resultados para estudios posteriores, principalmente cuando se requiera hacer evaluaciones después del aprovechamiento.
Relación v-dt
Los resultados obtenidos en esta investigación mediante el modelo de Schumacher mostraron bondad de ajustes convincentes al corregir la heterocedasticidad, sobre todo en los sesgos (< 0,0026) y en la raíz del error (REMC = 0,00001 a 0,0026 m3), así como los coeficientes de determinación ajustados (R2 adj) que explican de 74 a 93 %; siendo superior ligeramente en términos de sesgo (-0,019) y REMC (0,29 m3) en lo reportado por García-Cuevas et al. (2017a), aunque la variable explicó (R2 adj) un 97,1 % con la ecuación alométrica.
Con este mismo modelo (alométrico), se obtuvieron valores de REMC entre 0,11 y 0,54 m3 y con coeficientes (R2 adj) entre 86 y 93 % para estimaciones de ocho especies tropicales en Quintana Roo (García-Cuevas et al. 2017b), así como Corral-Rivas et al. (2007) al obtener un coeficiente de 91 % para cinco especies de coníferas en Durango; seguida por Quercus laurina con un 97 % (Martínez-López y Acosta-Ramos 2014). En el proceso de ajuste también es factible optar por un modelo de tipo logarítmico, tal como lo hicieron Quiñónez-Barraza et al. (2012) para cinco especies de clima templado en Durango, en donde obtuvieron una tasa de relación en coeficientes superiores al 90 %, con sus respectivos errores (REMC < 0,22 m3).
El modelo seleccionado cumple con la condición, de que cuando el modelo pasa por el origen, el volumen tiende a cero si la variable independiente es cero (Prodan et al. 1997) y al ser menos compleja y de cumplir con los supuestos de regresión generan ganancias significativas Honorato-Salazar 2011, ). Tal es el caso de Flores-Morales et al. (2019) donde obtuvieron resultados favorables al hacer correcciones de heterocedasticidad para P. pseudostrobus.
Adicionalmente, estos resultados podrán relacionar con las ecuaciones propuestas por Guzmán-Santiago et al. (2020) para la misma especie en las diferentes entidades federativas de México. Además, esta información generada (dt-dn, h y v), es nueva y podrá incorporarse en la plataforma SiBiFor (2016) y ser de utilidad en el plan de manejo de los recursos forestales maderables en el área de distribución de la especie.
CONCLUSIONES
Con el ajuste estadístico de los datos, se determinó que existe una relación no lineal entre el diámetro del tocón y las variables estimadas de cada una de las UMAFORs y de esta manera servirá para reconstruir escenarios completos en áreas forestales después de una serie de eventos.
La ecuación alométrica fue ideal para describir el diámetro normal y la altura total en algunos casos, junto con el modelo de Schumacher en su versión exponencial para el mismo fin; mientras que, para el volumen se consideró ideal la expresión de Schumacher, una vez corregida la heterocedasticidad, y que finalmente se cumplió con la hipótesis planteada.
Estas ecuaciones ayudaran a planificar y tomar decisiones en las aplicaciones de los diferentes tratamientos silvícolas de la especie en estudio.
