Sobre la clasificación de los enlaces de 3 puentes

On the Classification of 3--Bridge Links

Usando una nueva forma de representar enlaces, que se denomina representación en mariposa, se asocia a cada diagrama de 3 puentes de un enlace una sucesión de seis enteros, organizados como una tripla (p/n,q/m,s/l), tal que p≥ q≥ s≥2, 0<n≤ p, 0<m≤ q y 0<l≤ s. Para cada enlace de 3 puentes existe un número infinito de diagramas de 3 puentes, por lo que se define un orden en el conjunto de triplas de la forma (p/n,q/m,s/l) y se asigna a cada enlace de 3 puentes L el mínimo entre todas las triplas que corresponden a una 3-mariposa de L, y que se llama lapresentación en mariposa de L. Esta presentación extiende, en una forma natural, la bien conocida clasificación de Schubert de los enlaces de 2 puentes. 
Se obtienen condiciones necesarias y suficientes para que una tripla de la forma (p/n,q/m,s/l)corresponda a una 3-mariposa y por tanto, a un diagrama de 3 puentes de un enlace. Dada una tripla (p/n,q/m,s/l) se da un algoritmo para dibujar, en forma canónica, un diagrama de 3 puentes del enlace de 3 puentes asociado. Se presentan fórmulas para la 3-mariposa de la imagen espejos de un enlace de 3 puentes, para la suma conexa de dos nudos racionales y de algunas familias importantes de enlaces de 3 puentes. Queda la pregunta abierta: ¿Cuándo dos triplas (p/n,q/m,s/l) y (p'/n',q'/m',s'/l') representan el mismo enlace de 3 puentes?

Using a new way to represent links, that we call a butterfly representation, we assign to each 3-bridge link diagram a sequence of six integers, collected as a triple (p/n,q/m,s/l), such that p≥ q≥ s≥2, 0<n≤ p, 0<m≤ q and 0<l≤ s. For each 3-bridge link there exists an infinite number of 3-bridge diagrams, so we define an order in the set (p/n,q/m,s/l) and assign to each 3-bridge link L the minimum among all the triples that correspond to a 3-butterfly of L, and call it the butterfly presentation of L. This presentation extends, in a natural way, the well known Schubert classification of 2-bridge links. 
We obtain necessary and sufficient conditions for a triple (p/n,q/m,s/l) to correspond to a 3-butterfly and so, to a 3-bridge link diagram. Given a triple (p/n,q/m,s/l) we give an algorithm to draw a canonical 3-bridge diagram of the associated link. We present formulas for a 3-butterfly of the mirror image of a link, for the connected sum of two rational knots and for some important families of 3-bridge links. We present the open question: When do the triples(p/n,q/m,s/l) and (p'/n',q'/m',s'/l') represent the same 3-bridge link?

On the Classification of 3--Bridge Links Sobre la clasificación de los enlaces de 3 puentes HUGH MICHAEL HILDEN¹, JOSÉ MARÍA MONTESINOS², DÉBORA MARÍA TEJADA³, MARGARITA MARÍA TORO⁴

¹University of Hawaii at Honolulu, Hawaii, USA. Email: mike@math.hawaii.edu
²Universidad Complutense de Madrid, Madrid, España. Email: montesin@mat.ucm.es
³Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia. Email: dtejada@unalmed.edu.co
⁴Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia. Email: mmtoro@unalmed.edu.co

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Abstract

Using a new way to represent links, that we call a butterfly representation, we assign to each 3-bridge link diagram a sequence of six integers, collected as a triple (p/n,q/m,s/l), such that p≥ q≥ s≥2, 0<n≤ p, 0<m≤ q and 0<l≤ s. For each 3-bridge link there exists an infinite number of 3-bridge diagrams, so we define an order in the set (p/n,q/m,s/l) and assign to each 3-bridge link L the minimum among all the triples that correspond to a 3-butterfly of L, and call it the butterfly presentation of L. This presentation extends, in a natural way, the well known Schubert classification of 2-bridge links.
We obtain necessary and sufficient conditions for a triple (p/n,q/m,s/l) to correspond to a 3-butterfly and so, to a 3-bridge link diagram. Given a triple (p/n,q/m,s/l) we give an algorithm to draw a canonical 3-bridge diagram of the associated link. We present formulas for a 3-butterfly of the mirror image of a link, for the connected sum of two rational knots and for some important families of 3-bridge links. We present the open question: When do the triples (p/n,q/m,s/l) and (p'/n',q'/m',s'/l') represent the same 3-bridge link?

Key words: Links, 3-bridge links, Bridge presentation, Link diagram, 3-butterfly, Butterfly presentation.

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2000 Mathematics Subject Classification: 57M25, 57M27.

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Resumen

Usando una nueva forma de representar enlaces, que se denomina representación en mariposa, se asocia a cada diagrama de 3 puentes de un enlace una sucesión de seis enteros, organizados como una tripla (p/n,q/m,s/l), tal que p≥ q≥ s≥2, 0<n≤ p, 0<m≤ q y 0<l≤ s. Para cada enlace de 3 puentes existe un número infinito de diagramas de 3 puentes, por lo que se define un orden en el conjunto de triplas de la forma (p/n,q/m,s/l) y se asigna a cada enlace de 3 puentes L el mínimo entre todas las triplas que corresponden a una 3-mariposa de L, y que se llama la presentación en mariposa de L. Esta presentación extiende, en una forma natural, la bien conocida clasificación de Schubert de los enlaces de 2 puentes.
Se obtienen condiciones necesarias y suficientes para que una tripla de la forma (p/n,q/m,s/l) corresponda a una 3-mariposa y por tanto, a un diagrama de 3 puentes de un enlace. Dada una tripla (p/n,q/m,s/l) se da un algoritmo para dibujar, en forma canónica, un diagrama de 3 puentes del enlace de 3 puentes asociado. Se presentan fórmulas para la 3-mariposa de la imagen espejos de un enlace de 3 puentes, para la suma conexa de dos nudos racionales y de algunas familias importantes de enlaces de 3 puentes. Queda la pregunta abierta: ¿Cuándo dos triplas (p/n,q/m,s/l) y (p'/n',q'/m',s'/l') representan el mismo enlace de 3 puentes?.

Palabras clave: Enlaces, enlaces de 3 puentes, presentación en puentes, diagrama deenlace, 3-mariposa, presentación en mariposa.

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Texto completo disponible en PDF

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References

[1] G. Burde and H. Zieschang, Knots, Walter de Gruyter, New York, USA, 1985.

[2] A. Cavicchioli and B. Ruini, 'Special Representations for n-Bridge Links', Discrete Comput. Geom. 12, 1 (1994), 9-27.

[3] P. Cromwell, Knots and Links, Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2004.

[4] J. M. M. D. M. T. H. M. Hilden and M. M. Toro, 'Mariposas y 3-variedades', Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales 28, (2004), 71-78.

[5] J. M. M. D. M. T. H. M. Hilden and M. M. Toro, 'Representing 3-Manifolds by Triangulations of S³', Revista Colombiana de Matemáticas 39, 2 (2005), 63-86.

[6] J. M. M. D. M. T. H. M. Hilden and M. M. Toro, 'Fox Coloured Knots and Triangulations of S³', Math Proc. Camb. Phil. Soc. 141, 3 (2006), 443-463.

[7] H. M. Hilden, J. M. Montesinos, D. M. Tejada, and M. M. Toro, A new Representation of Links: Butterflies, 'arXiv:1203.2045v1', (0000).

[8] M. H. Hilden, J. M. Montesinos, D. M. Tejada, and M. M. Toro, Knots Butterflies and 3-Manifolds, 'Publicado en: Disertaciones del Seminario de Matemáticas Fundamentales de la UNED (Universidad de Educación a Distancia)', (2005), Vol. 33, Madrid, España, p. 1-22.

[9] K. Kawauchi, A Survey of Knot Theory, Birkhäuser Verlag, Basel, Switzerland, 1996.

[10] J. M. Montesinos, Sobre la representación de variedades tridimensionales, Universidad Complutense de Madrid, 1978.

[11] J. M. Montesinos, Calidoscopios y 3-variedades, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia, 2003.

[12] O. Morikawa, 'A Class of 3-Bridge Knots I', Math. Semin. Notes, Kobe Univ. 9, (1981), 349-369.

[13] O. Morikawa, 'A Class of 3-Bridge Knots II', Yojohama Mathematical Journal 30, (1982), 53-72.

[14] K. Murasugi, Knot Theory and its Applications, Birkhäuser, Boston. USA, 1996.

[15] S. Negami, 'The Minimum Crossing of 3-Bridge Links', Osaka J. Math. 21, 3 (1984), 477-487.

[16] S. Negami and K. Okita, 'The Splittability and Triviality of 3-Bridge Links', Trans. Amer. Math. Soc. 289, 1 (1985), 253-280.

[17] J. G. Rodríguez and M. M. Toro, 'Virtual Knot Groups and Combinatorial Knots', São Paulo Journal of Mathematical Sciences 3, (2009).

[18] D. Rolfsen, Knots and Links, Mathematics Lecture Series, Vol. 7, Publish & Perish Inc., Berkeley, USA, 1976.

[19] H. Schubert, 'Knoten Mit Zwei Brücken', Math. Z. 65, (1956), 133-170.

[20] M. Thistlethwaite, Knotscape, (2012). http://www.math.utk.edu/~morwen/

[21] W. Thurston, 'Three Dimensional Manifolds, Kleinian Groups, and Hyperbolic Geometry', Bull. Amer. Math. Soc., New Ser. 6, (1982), 357-379.

[22] W. Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, Vol. 1, Princeton University Press, Princeton, USA, 1997.

[23] M. M. Toro, Programación en Mathematica con aplicaciones a la teoría de nudos, Unibiblos, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá, 2004a.

[24] M. M. Toro, 'Nudos combinatorios y mariposas', Rev. Acad. Colomb. Cienc. Exactas, Fis. Nat. 28, 106 (2004b), 79-86.

[25] M. M. Toro, Nudos, (2012). http://posmat.medellin.unal.edu.co/nudowiki/

[26] M. M. Toro and J. G. Rodríguez, Virtual Knots versus Combinatorial Knots, preprint, 2008.

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(Recibido en diciembre de 2011. Aceptado en julio de 2012)

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Este artículo se puede citar en LaTeX utilizando la siguiente referencia bibliográfica de BibTeX:

@ARTICLE{RCMv46n2a02,
    AUTHOR  = {Hilden, Hugh Michael and Montesinos, José María and Tejada, Débora María and Toro, Margarita María},
    TITLE   = {{On the Classification of 3--Bridge Links}},
    JOURNAL = {Revista Colombiana de Matemáticas},
    YEAR    = {2012},
    volume  = {46},
    number  = {2},
    pages   = {113--144}
}

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