STRUCTURES ADDITIVES ET COMPLEXITE PSYCHOGENETIQUE

La solution des problèmes d'arithmétique élémentaire n'a pas été beaucoup étudiée par les psychologues. C'est pourtant une étude intéressante ; non seulement à cause de ses applications possibles, mais aussi parce qu'elle permet d'illustrer certaines questions théoriques générales de la solution de problème.

Loi de composition interne et transformation

La présentation classique des opérations arithmétiques élémentaires est fondée sur la notion de loi de composition interne binaire

a + b = c

a — b = c

a x b = c

a : b = c

Dans toutes ces équations, c est considéré comme un nombre de même nature que a et b et comme le résultat de leur composition.

Cette conception mathématique, développée surtout pour l'addition et la multiplication, ne permet pas de

traiter aussi simplement la soustraction et la division. En effet, si l'on prend par exemple comme ensemble de référence l'ensemble des nombres naturels (nombres entiers positifs), la soustraction de deux nombres naturels a et b ne donne un nombre naturel que si a est plus grand que b ou égal à b ; et la division de a par b ne donne un nombre naturel que si a est un multiple de b ; il s'en suit que la soustraction et la division ne sont pas des lois internes pour l'ensemble des naturels.

L'étude des problèmes d'arithmétique élémentaire met en évidence beaucoup d'autres difficultés, qui montrent l'insuffisance, sinon l'inaéquation, de la notion de loi interne pour caractériser certaines relations numériques.

Nous nous contenterons dans cet article d'étudier les problèmes de type additif, en désignant ainsi les problèmes dont la solution n'implique que des additions ou des soustractions. Nous voulons donner cependant un exemple de problème de type multiplicatif qui montre que les questions soulevées ici sont des questions générales. Cet exemple met en évidence que certaines relations multiplicatives ne portent pas sur trois éléments a, b et c comme on pourrait le croire mais font intervenir en fait quatre quantités ; il montre également que les nombres en relation ont un statut profondément différent.

Soit le problème suivant :

«J'ai 13 sacs de 12 billes chacun. Combien ai-je de

billes en tout ? »

Traduisons par un schéma sagittal les relations qui sont contenues dans l'énoncé, en désignant par x la quantité de billes recherchée.

« 12 billes chacun » 1 sac —,-12 billes

«J'ai 3 sacs. Combien ai-je

de billes en tout » 3 sacs -> x billes

On voit clairement qu'il y a quatre quantités et non pas trois. Ecrivons dans un tableau ces quatre quantités et les deux solutions possibles du problème :

Le statut des différents nombres du tableau est très différent :

— 1, 3 représentent des vecteurs du premier espace (sacs)

— 12, x représentent des vecteurs du second espaces (billes)

— x3 représente un scalaire

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