Un método de diferencias finitas generalizadas para simular la actividad eléctrica de un tejido cardiaco

Resumen

Una evolución del método de diferencias finitas ha sido el desarrollo del método de diferencias finitas generalizadas (MDFG) que se puede aplicar a mallas irregulares o nubes de puntos. En este método se emplea una expansión en serie de Taylor junto con una aproximación por mínimos cuadrados móviles (MCM). De ese modo, las fórmulas explícitas de diferencias para nubes irregulares de puntos se pueden obtener fácilmente usando el método de Cholesky. El MDFG-MCM es un método sin malla que emplea únicamente puntos. Una contribución de esta Tesis es la aplicación del MDFG-MCM al caso de la modelización de problemas anisótropos elípticos de conductividad eléctrica incluyendo el caso de tejidos reales cuando la dirección de las fibras no es fija, sino que varía a lo largo del tejido. En esta Tesis también se muestra la extensión del método de diferencias finitas generalizadas a la solución explícita de ecuaciones parabólicas anisótropas. El método explícito incluye la formulación de un límite de estabilidad para el caso de nubes irregulares de nodos que es fácilmente calculable. Además se presenta una nueva solución analítica para una ecuación parabólica anisótropa y el MDFG-MCM explícito se aplica al caso de problemas parabólicos anisótropos de conductividad eléctrica. La evidente dificultad de realizar mediciones directas en electrocardiología ha motivado un gran interés en la simulación numérica de modelos cardiacos. La contribución más importante de esta Tesis es la aplicación de un esquema explícito con el MDFG-MCM al caso de la modelización monodominio de problemas de conductividad eléctrica. En esta Tesis presentamos un algoritmo altamente eficiente, exacto y condicionalmente estable para resolver el modelo monodominio, que describe la actividad eléctrica del corazón. El modelo consiste en una ecuación en derivadas parciales parabólica anisótropa (EDP) que está acoplada con un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) que describen las reacciones electroquímicas en las células cardiacas. El sistema resultante es difícil de resolver numéricamente debido a su complejidad. Proponemos un método basado en una separación de operadores y un método sin malla para resolver la EDP junto a un método de Runge-Kutta para resolver el sistema de EDOs de la membrana y las corrientes iónicas. ABSTRACT An evolution of the method of finite differences has been the development of generalized finite difference (GFD) method that can be applied to irregular grids or clouds of points. In this method a Taylor series expansion is used together with a moving least squares (MLS) approximation. Then, the explicit difference formulae for irregular clouds of points can be easily obtained using a simple Cholesky method. The MLS-GFD is a mesh-free method using only points. A contribution of this Thesis is the application of the MLS-GFDM to the case of modelling elliptic anisotropic electrical conductivity problems including the case of real tissues when the fiber direction is not fixed, but varies throughout the tissue. In this Thesis the extension of the generalized finite difference method to the explicit solution of parabolic anisotropic equations is also given. The explicit method includes a stability limit formulated for the case of irregular clouds of nodes that can be easily calculated. Also a new analytical solution for homogeneous parabolic anisotropic equation has been presented and an explicit MLS- GFDM has been applied to the case of parabolic anisotropic electrical conductivity problems. The obvious difficulty of performing direct measurements in electrocardiology has motivated wide interest in the numerical simulation of cardiac models. The main contribution of this Thesis is the application of an explicit scheme based in the MLS-GFDM to the case of modelling monodomain electrical conductivity problems using operator splitting including the case of anisotropic real tissues. In this Thesis we present a highly efficient, accurate and conditionally stable algorithm to solve a monodomain model, which describes the electrical activity in the heart. The model consists of a parabolic anisotropic partial differential equation (PDE), which is coupled to systems of ordinary differential equations (ODEs) describing electrochemical reactions in the cardiac cells. The resulting system is challenging to solve numerically, because of its complexity. We propose a method based on operator splitting and a meshless method for solving the PDE together with a Runge-Kutta method for solving the system of ODE’s for the membrane and ionic currents.