Resumen de Algunos avances en el estudio de métodos iterativos para ecuaciones no lineales
Uno de los problemas más clásicos en matemática aplicada es la búsqueda de las soluciones de ecuaciones no lineales f (x) = 0.
La expresión f (x) = 0, puede representar diferentes situaciones, por ejemplo: una ecuación o un sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales, una ecuación diferencial o integral, sistemas de ecuaciones que provienen de la discretización de ecuaciones en derivadas parciales.
Cuando la obtención de la solución explícita no es posible, hecho que ocurre en numerosas ocasiones, nos debemos conformar con aproximaciones de las mismas. Esta aproximación se busca mediante algún tipo de proceso numérico.
Una de las técnicas más importantes para estudiar este problema es la utilización de métodos iterativos. Un método iterativo de un punto o estacionario comienza con un candidato inicial a la solución z0 que es mejorado mediante una función de iteración zn+1 = Tf (zn), generando una sucesión de aproximaciones a una raíz ¿ de la función f.
Se imponen condiciones, sobre z0 y, eventualmente, sobre f o Tf o ambas, para asegurar la convergencia de la secuencia de iterados (zn)nN a una solución de la ecuación, así como para establecer el orden de convergencia del método iterativo definido por Tf.
El denominado método de Newton, o de Newton-Raphson, para obtener una aproximación a la solución de una ecuación no lineal, zn+1 = zn f (zn)/f (zn) = Nf (zn), es probablemente el proceso iterativo más conocido y más utilizado en la actualidad ya que es eficiente y de segundo orden de convergencia.
El objetivo de este trabajo es contribuir a mejorar, los métodos iterativos existentes. Para alcanzar este objetivo, los dos aspectos más importantes a considerar son: el estudio de la convergencia del método (estableciendo hipótesis bajo las cuales se obtenga la convergencia en espacios de Banach, o bien mediante el estudio de la dinámica del método en el plano complejo ampliado), y la construcción e implementación de métodos que sean eficientes. Estos puntos se han ido abordando en los artículos presentados.
En el artículo titulado On the dynamics of some Newton's type iterative function, estudiamos el comportamiento dinámico en el plano complejo ampliado de una familia de métodos iterativos. Esta familia fue introducida por Hernández y Salanova, como una aceleración convexa del método de Newton. En este trabajo, establecemos sus clases de conjugación y calculamos las ecuaciones de los puntos fijos adicionales y de los puntos críticos libres. Encontrando que para estos métodos el punto del infinito es un punto fijo atractor, por lo que su dinámica es más compleja que la del método de Newton.
En el artículo titulado On the dynamics of the Euler iterative function, hemos estudiado el método de Euler desde el punto de vista de su dinámica. Hemos establecido sus clases de conjugación. Hemos dado las ecuaciones de sus posibles puntos críticos libres y hemos comprobado que para polinomios cúbicos no existen órbitas periódicas atractoras, sin embargo, para polinomios de grado mayor que tres si que pueden presentarse. Hemos obtenido que no posee puntos fijos adicionales.
En el artículo titulado Super-attracting periodic orbits for a classical third order method presentamos un procedimiento para construir polinomios tales que, cuando les aplicamos el método de Euler aparezcan órbitas periódicas super atractoras.
En el artículo titulado Convergence by nondiscrete mathematical induction of a two step secant's method, hemos propuesto una mejora a los métodos tipo secante-Steffensen en espacios de Banach. Hemos hecho un estudio de la convergencia semilocal usando la técnica de Nondiscrete Mathematical Induction. Con esta técnica se obtienen teoremas de convergencia donde los radios de convergencia son funciones, proporcionando estimaciones más finas, tanto a priori como a posteriori, en definitiva se optimizan los radios de convergencia. El problema es que las hipótesis de convergencia y la teoría son de carácter muy técnico.
En el artículo titulado A family of Halley-Chebyshev iterative schemes for non-Fréchet difierentiable operators, hemos presentado una modificación de una familia de métodos tipo Halley-Chebyshev, de tercer orden de convergencia, utilizando diferencias divididas, con el fin de mejorar la implementación y disminuir las hipótesis de convergencia de los métodos iterativos clásicos de tercer orden. Estos métodos son eficientes, ya que son de tercer orden de convergencia, el usuario no necesita conocer ninguna derivada Fréchet y son aplicables a operadores que no sean Fréchet diferenciables. Hemos presentado resultados teóricos de convergencia en espacios de Banach, donde la única condición que se le impone a la segunda diferencia dividida es que esté acotada por una función no decreciente, las demás hipótesis son condiciones en el punto inicial. Hemos aplicado este análisis teórico a un operador no diferenciable Fréchet comparándolo con un esquema de tipo Steffensen.
En el capítulo dedicado al artículo titulado On a third order Newton type method free of bilinear operators, hemos introducido un esquema de tercer orden libre de operadores bilineales. Hemos dado un resultado de convergencia global para ecuaciones escalares, calculando las constantes asintóticas del error. Hemos presentado un estudio de la convergencia semilocal en espacios de Banach, bajo condiciones tipo Newton-Kantorovich, imponiendo como hipótesis principal w-condiciones en las diferencias divididas de primer orden, en lugar de la habitual condición Lipschitz para la segunda derivada Fréchet de los métodos iterativos con convergencia de tercer orden. Con dos pequeñas condiciones extras por la peculiaridad del primer paso del esquema. Hemos presentado aplicaciones a ecuaciones de Riccati y a ecuaciones de Hammerstein, comparando los resultados de convergencia con un método clasico del mismo orden. Hemos estudiado una modificación del método utilizando diferencias divididas y la hemos aplicado a operadores no diferenciables Fréchet y a problemas de valores en la frontera. Los métodos introducidos son muy competitivos con respecto a los métodos clásicos del mismo orden. Estos métodos no necesitan el cálculo de derivadas Fréchet de orden superior a uno, o en su caso de diferencias divididas, y la matriz de cada sub-iterada permanece constante en los distintos pasos de cada iteración.
