Inverse boundary value problems with partial and local data for the magnetic Schrödinger operator
Author
Potenciano Machado, LeyterAdvisor
Ruiz González, AlbertoEntity
UAM. Departamento de MatemáticasDate
2017-03-24Subjects
Schrödinger, Ecuación de - Tesis doctorares; MatemáticasNote
Tesis Doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura: 24-03-2017Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 4.0 Internacional.
Abstract
El objetivo principal de esta disertación consiste en estudiar dos problemas inversos asociados a un operador de Schrodinger con término magnético, en un dominio acotado. Presentamos unos resultados sobre la recuperación y la recuperación estable de los coeficientes de dicho operador a partir de mediciones en la frontera del dominio. Físicamente hablando, estos coeficientes representan los potenciales magnético y eléctrico del operador. Abordaremos dos problemas, los cuales dependen del tipo de mediciones que haremos en la frontera. Ambos problemas tienen en común que las mediciones se toman en subconjuntos abiertos de la frontera. Para el primer problema estudiado, tomamos las mediciones en un subconjunto por medio de perturbaciones en el complemento del mismo. En este caso, aunque las mediciones se hacen en subconjuntos, tenemos acceso al complemento de los mismos para poder hacer las perturbaciones. Por el contrario, en el segundo problema hay una parte inaccesible, por lo cual las perturbaciones y las correspondientes mediciones se hacen en el mismo conjunto, llamado la parte accesible de la frontera. En ambos casos, recuperamos el campo magnético y el potencial eléctrico del operador. Además, derivamos las correspondientes estimaciones de estabilidad, obteniendo módulos de continuidad logarítmicos. Respecto a las estimaciones para el primer problema, obtenemos un doble logaritmo como módulo de continuidad para el campo magnético y un triple para el potencial eléctrico. Para enfrentar el segundo problema, debido a que solo tenemos acceso a una parte de la frontera, imponemos una restricción geométrica: la parte inaccesible se encuentra contenida en un hiperplano. Bajo esta hipótesis adicional, obtenemos estimaciones con un solo logaritmo como módulo de continuidad, tanto para el campo magnético como para el potencial eléctrico. Finalmente mencionamos que, por lo general, el estudio de la recuperación estable con mediciones en parte de la frontera implica, por lo menos, un doble logaritmo como módulo de continuidad. En ese sentido, el módulo de continuidad logarítmico obtenido en el segundo problema, es el óptimo. La totalidad de esta tesis es financiada y soportada por el Proyecto MTM2011 - 28198 del Ministerio de Economía y Competividad de España The main goal of this dissertation is the study of two Inverse Boundary Value Problems
associated with a magnetic Schrodinger operator on a bounded domain. We give results
about the determination and the stable determination of the coeficients of the operators.
Physically speaking, such coeficients represent the magnetic and the electric potentials of
the operators.
We study two problems, both depending on the kind of measurements taken on the
boundary and having in common that the measurements should be taken on open subsets.
For the first problem, we take the measurements on a subset of the boundary by means
of perturbations on its complement. Thus we say that in this case we may access this
complement. On the contrary, in the second problem there is an inaccessible part, hence
the perturbations and the corresponding measurements are taken on the same set, called
the accessible part of the boundary.
In both problems, we can recover the magnetic field and the electric potential of the
operator. Moreover, we derive the corresponding stability estimates, obtaining module of
continuity of logarithmic type. Regarding the estimates for the first problem studied, we
obtain a double logarithm as a module of continuity for the magnetic field and a triple for
the electric potential. To deal with the second problem, since we only have access to a part
of the boundary, we impose a geometric restriction: the inaccessible part of the boundary
is contained in a hyperplane. Under this additional hypothesis, we obtain estimates with
only one logarithm as modulus of continuity for both the magnetic field and the electric
potential.
In general, the study of stable determination with measurements on part of the boundary
implies twice the logarithm as module of continuity. In this sense, the logarithmic
module of continuity obtained in the second problem is optimal.
This PhD dissertation is supporting by the Project MTM2011. 28198 of Ministerio de Economía y Competividad de España
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