Información Tecnológica-Vol. 15 N° 3-2004, págs.: 39-44

LÓGICA DIFUSA Y REDES NEURONALES

Agrupación de un Conjunto en Subconjuntos Independientes de Inferencia Conocido un Subconjunto Borroso y una Indistinguibilidad

Grouping a Set into Inference Independent Subsets given a Fuzzy Set and Indistinguishability

L. Garmendia¹, A. Salvador² y E. Trillas³

(1) Univ. Complutense de Madrid, Fac. de Informática, Dpto. de Lenguajes y Sistemas Informáticos, Ciudad Universitaria s/n, 28040 Madrid-España (e-mail: Igarmend@fdi.ucm.es)

(2) Univ. Politécnica de Madrid, Dpto. de Matemática Aplicada. E.T.S. Ingenieros de Caminos, Ciudad Universitaria s/n, 28040 Madrid-España (e-mail: ma09@caminos.upm.es)

(3) Univ. Politécnica de Madrid, Fac. de Informática, Dpto. Inteligencia Artificial, Campus de Montegancedo s/n, Boadilla del Monte, Madrid-España (e-mail: etrillas@fi.upm.es)

Resumen

Se define un algoritmo, dado un conjunto clásico, un subconjunto borroso y una T-indistinguibilidad, que permite determinar subconjuntos independientes de inferencia. Esto resuelve el problema de partición que se planteaba por el hecho de tener definida una T-indistinguibilidad en lugar de una relación de equivalencia clásica o una relación borrosa de similaridad. El concepto de medida de especificidad se define axiomáticamente bajo una T-indistinguibilidad. El algoritmo propuesto proporciona un método para calcular diferentes medidas de especificidad de un conjunto borroso cuando se conoce una T-indistinguibilidad.

Abstract

It is defined an algorithm that, given a classical set, a fuzzy subset and a T-indistinguishability, computes independent subsets of the classical set which are independent of inference. This solves the partitioning problem that generates the information of any T-indistinguishability relation instead of a classical equivalence relation or a fuzzy relation of similarity. The concept of measure of specificity is axiomatically defined under a T-indistinguishability. The proposed algorithm allows to compute several measures of specificity of fuzzy sets when aT-indistinguishability is known.

Keywords: information theory, fuzzy set, measure of specificity, indistinguishability

INTRODUCCIÓN

Ronald Yager (Yager, 1982) introduce el concepto de medida de especificidad de un subconjunto borroso, concepto que juega un papel fundamental en la ingeniería del conocimiento al proporcionar una medida de la cantidad de información contenida en un subconjunto borroso o en una distribución de posibilidad. Evalúa el grado en que un subconjunto borroso tiende a tener un elemento y sólo uno, con lo que se puede entender de alguna manera como el inverso de la cardinalidad de un conjunto. El concepto de especificidad funciona en teoría de la posibilidad de forma similar a como lo hace la entropía en teoría de la probabilidad, pues ambas medidas expresan la cantidad de información de una distribución calculando el grado en que se manifiesta un solo elemento.

En la literatura aparecen conceptos relacionados: Dubois y Prade (1987) han investigado sobre las propiedades y aplicaciones de la medida de especificidad. Introducen el concepto de especificidad mínima, y muestran el papel central de la especificidad en la teoría del razonamiento aproximado. Higashi y Klir (1983) discuten un concepto similar que denominan no especificidad. Está también muy relacionado con el concepto de granularidad introducido por Zadeh (1971).

Existen muchas aplicaciones de las medidas de especificidad. Pueden utilizarse, por ejemplo, para el aprendizaje inductivo. Yager (1991) ha mostrado algunas aplicaciones como una medida de tranquilidad a la hora de tomar una decisión. Cuanto más específica es una decisión menor es la preocupación que ésta provoca. Otra aplicación importante es la observación del rendimiento de sistemas expertos borrosos. En este entorno, el concepto de especificidad es fundamental para determinar la utilidad de la información que proporciona un sistema experto. Cuanto más específica sea la información, más útil será. Otra área importante en la que las medidas de especificidad son importantes es en los sistemas de razonamiento deductivo (Zadeh, 1979), o en el principio de encolamiento (en-tailment) introducido por Zadeh (1997).

Yager define (1990) medida de especificidad para un conjunto referencial finito, y propone distintas medidas de especificidad de forma que en cada aplicación se pueda utilizar la más adecuada, como por ejemplo introduce la clase de medidas llamadas medidas de especificidad lineales. En Garmendia et al. (2003a) se utiliza una expresión que permite obtener como un caso particular todas las medidas de especificidad que antes habían aparecido en la literatura. Al aumentar la información, aumenta la especificidad. La información aumenta si se tiene definida una relación clásica de equivalencia o una relación borrosa de similaridad o de T-indistinguibilidad. Las T-in-distinguibilidades generalizan a las relaciones de equivalencia clásicas.

Dado un conjunto clásico X y una relación de equivalencia S, están definidas las diferentes clases de equivalencia. Si en lugar de un conjunto clásico se tiene un conjunto borroso m definido sobre un espacio referencial finito X y una similaridad, se pueden encontrar particiones del conjunto X para cada valor a del intervalo [0, 1] pues los a -cortes de una relación de similaridad son relaciones de equivalencia clásicas. Pero si se tiene una T-indis-tinguibilidad ya no se puede asegurar que se tenga una partición del conjunto.

La forma de medir la especificidad de un conjunto borroso cuando se conoce una similaridad (Yaguer; 1991) se basa en ese conjunto de clases de equivalencia. Pero si es una T-indistinguibilidad se debe buscar otra forma de proceder.

El método propuesto en este artículo se basa en construir ‘conjuntos independientes de inferencia’ de X, es decir, un conjunto de subconjuntos de forma que el representante de cada subconjunto pueda inferir, por inferencia borrosa mediante la t-norma T y la T-indis-tinguibilidad, a todos los elementos del subconjunto. Este trabajo define un subconjunto borroso asociado a ese conjunto de subconjuntos encontrando sus valores de pertenencia.

Se utiliza este subconjunto borroso asociado para el cálculo de medidas de especificidad de conjuntos borrosos bajo una T-indistin-guibilidad. Cuando la información aumenta con el conocimiento de una T-indistinguibilidad, también aumenta la especificidad de los conjuntos borrosos, y crece la información que contienen en problemas de toma de decisiones.

ANTECEDENTES

Sea X un conjunto clásico finito, y sea T una t-norma triangular.

Se llama T-indistinguibilidad a una relación borrosa R: X X ® [ 0, 1] que sea reflexiva, simétrica y T-transitiva.

Una similaridad es una T-indistinguibilidad en la que T es la t-norma mínimo.

Yager (1991) introdujo el concepto de medida de especificidad bajo una similaridad. Utiliza el concepto de Minindistinguibilidad o similaridad introducido por Zadeh (1971).

El subconjunto de nivel a de una relación de similaridad S es una relación de equivalencia clásica denotada Sa ,

Sea p a el conjunto de clases de equivalencia de S para un nivel a dado. Sea p a /S el subconjunto de clases de equivalencia de p a definido de la siguiente forma: La clase p a (i) pertenece a p a /S si existe un elemento x con-tenido en p a (i) y en el subconjunto de nivel m a .

La definición de medida de especificidad de un conjunto borroso m bajo una similaridad (Yager, 1991) es la siguiente:

La medida de especificidad bajo una similaridad es máxima si para todo a , m a está contenido sólo en una clase de Sa .

Obsérvese que esta definición es buena para similaridades, pero no es válida para cualquier T-indistinguibilidad S, pues cuando T no es la t-norma mínimo, el subconjunto de nivel a de S no es una relación de equivalencia y m _a /S no está, por tanto, bien definido.

CONJUNTOS INDEPENDIENTES DE INFERENCIA

Sea m un conjunto borroso sobre un espacio referencial finito X = {x₁, ..., x_n} al que, sin pérdida de generalidad, se supone ordenado de la forma m (x₁) ³ m (x₂) ³ ... ³ m (x_n). Sea T una t-norma y sea S una T-indistinguibilidad sobre X.

Definición: x_k está relacionado con x_j por la relación , y se denota x_k x_j, si y sólo si:

Esta definición indica que cuando x_k está relacionado con x_j, es posible deducir a partir de x_k lo mismo o más de lo que se conoce de x_j haciendo inferencia borrosa con la t-norma T y la T-indistinguibilidad S. Es decir, aumenta la información sobre x_j debido a la relación de T-indistinguibilidad con x_k.

Proposición: Sea m un conjunto borroso sobre un espacio finito X = {x₁, ..., x_n}, sea S una T-indistinguibilidad en X, entonces la relación es una relación de preorden clásica en X.

Demostración: Se observa que la relación clásica en X es reflexiva: T(m (x_i), S(x_i, x_i))) = T(m (x_i), 1) = m (x_i), luego x_i x_i.

Se observa que la relación clásica es transitiva, pues si se supone x_i x_j y x_j x_k,

x_i x_j por lo tanto T(m (x_i), S(x_i, x_j)) ³ m (x_j),

x_j x_k por lo que T(m (x_j), S(x_j, x_k)) ³ m (x_k).

Luego m (x_k) £ T(m (x_j), S(x_j, x_k))

£ T(T(m (x_i), S(x_i, x_j)), S(x_j, x_k))

(como T es asociativa)

= T(m (x_i), T(S(x_i, x_j), S(x_j, x_k)))

(como S es T-transitiva)

£ T(m (x_i), S(x_i, x_k)) y por lo tanto x_i x_k. z

Notación: Se denomina conjunto independiente de inferencia, y se denota [x_k], al subcon-junto de X formado por los elementos relacionados con el elemento x_k.

Definición: Se define el subconjunto borroso asociado Á sobre el conjunto de los subconjuntos independientes de inferencia. El valor de pertenencia de [x_k] se calcula como Max_j(T(m (x_j), S(x_k, x_j))) y se denota Á ([x_k]).

Obsérvese que Á ([x_k]) ³ m (x_k) para todo elemento x_k de X.

ALGORITMO PARA OBTENER CONJUNTOS INDEPENDIENTES DE INFERENCIA

Los valores de pertenencia Á ([x_k]) de los conjuntos [x_k] se calculan aplicando la regla composicional de inferencia Max-T entre el conjunto borroso m y la T-indistinguibilidad S.

Por tanto Á ([x_j]) = Max_i(T(m (x_i), S(x_j, x_i))) = T(m (x_k), S(x_k, x_j)) para algún k. Si k¹ j, entonces x_k representa al conjunto independiente de inferencia de x_j. Varios de estos valores Á ([x_k]) pueden ser iguales, por ejemplo Á ([x_k]) es igual a Á ([x_j]) en el caso de que los dos elementos x_k y x_j estén relacionados en un sentido por la relación .

El algoritmo que se propone tiene como objetivo detectar y eliminar los elementos x_j cuando exista otro elemento que represente a su conjunto independiente de inferencia para obtener el conjunto Xⁿ de elementos de los representantes de los conjuntos independientes de inferencia (X^nÍ X).

La propiedad transitiva de la relación es importante para este algoritmo, pues cuando un elemento x_j es representado por otro elemento x_i, se puede eliminar sin temor a deshacerse de un x_j que represente a otro x_k, pues x_i también representa a x_k.

Notación: Mediante m o_Max-T S (*, x₁) se denota la regla composicional de inferencia Max_j(T(m (x_j), S(x_j, x₁))) donde * es cualquier elemento x_i del conjunto referencial X, m el subconjunto borroso definido sobre X y S la T-indistinguibilidad.

Los pasos de este algoritmo son:

Paso 1: Calcular m o_Max-T S(*, x₁).

Si para algún j¹ 1 el Max_j(T(m (x_j), S(x_j, x₁))) ³ m (x₁) entonces X¹:=X- {x₁}, y m ¹ y S¹ son la restricción a X¹ de m y S. En otro caso X¹ = X y x₁ es el representante de su conjunto independiente de inferencia.

Paso k: Calcular m o_Max-T S(*, x_k).

Si para algún j¹ k el Max_j(T(m ^k-1(x_j), S^k-1(x_j, x_k))) ³ m ^k-1(x_k) entonces X^k = X^{k-1 -} {x_k}, y en otro caso X^k =X^k-1.

Repitiendo el proceso n veces, Xⁿ es el conjunto de representantes de los subconjuntos independientes de inferencia y los valores de pertenencia de Á son los de m restringido a Xⁿ.

Ejemplo: Sea m el conjunto borroso sobre X={x₁, ..., x₅} con los valores de pertenencia m = 1/x₁ + 0.7/x₂ + 0.5/x₃ + 0.2/x₄ + 0/x₅.

Sea S la T-indistinguibilidad representada por

S =

(4)

que es reflexiva, simétrica y W-transitiva, donde W es la t-norma de Lukasiewicz definida W(x, y) = Máx{0, x+y-1}

Para decidir que conjuntos son independientes de W-inferencia se siguen los pasos del algoritmo.

En el paso 1 se calcula

m o_Max-W S(*, x₁)

= (1, 0.7, 0.5, 0.2, 0) oMax-W

(5)

= Max{1, 0.6, 0, 0, 0} = 1 = m (x₁).

Como 1 = Max(W(m (x₁), S(x₁, x₁))) = m (x₁), se tiene X¹ = X, m ¹ = m y S¹ = S.

En el paso 2 se calcula

m ¹ o_Max-T S¹(*, x₂)

= (1, 0.7, 0.5, 0.2, 0) oMax-W

(6)

= Max{0.9, 0.7, 0, 0, 0} = 0.9 ³ 0.7 = m (x₂).

Como 0.9 = Max(W(m ¹(x₁), S¹(x₁, x₂))) ³ m ¹(x₂) entonces x₁ representa a x₂, por lo que X² = X¹-{x₂} = {x₁, x₃, x₄, x₅}, m ² es m ¹ restringido a X¹ y,

S2 =

en X2x X2.

(7)

En el paso 3 se calcula

m ² o_Max-T S²(*, x₃)

= (1, 0.5, 0.2, 0) oMax-W

(8)

= Max{0.4, 0.5, 0, 0} = 0.5 = m (x₃).

Como 0.5 = m (x₃), x₃ es el representante de su clase y se tiene X³ = X², m ³ = m ² y S³ = S².

En el paso 4 se calcula

m ³ o_Max-T S³(*, x₄)

= (1, 0.5, 0.2, 0) oMax-W

(9)

= Max{0.7, 0, 0.2, 0} = 0.7 ³ 0.2 = m (x₄).

Como 0.7 = Max(W(m ³(x₁), S³(x₁, x₄))) ³ m ³(x₄) = 0.2 entonces x₁ representa a x₄, por lo que X⁴ = X³-{x₄} = {x₁, x₃, x₅}, m ⁴ es m ³ restringido a X⁴ y,

S4 =

en X4x X4.

(10)

En el paso 5 se calcula

m ⁴ o_Max-W S⁴(*, x₅)

= (1, 0.5, 0) oMax-W

(11)

= Max{0.8, 0, 0} = 0.8 ³ 0 = m (x₅).

Como 0.8 = Max(W(m ⁴(x₁), S⁴(x₁, x₅))) ³ m ⁴(x₅) = 0 entonces x₁ representa a x₅. X⁵ = X⁴-{x₅} = {x₁, x₃}, que es el conjunto de representantes de los conjuntos independientes de inferencia ya que los conjuntos independientes de inferencia son dos:

y sus valores de pertenencia son los de m restringido a X⁵, es decir, 1/x₁ + 0.5/x₃, siendo Á ([x₁]) = 1 y Á ([x₃]) = 0.5.

CÁLCULO DE MEDIDAS DE ESPECIFICIDAD DE CONJUNTOS BORROSOS BAJO T-INDISTINGUIBILIDADES

En este apartado de define medida de especificidad bajo una T-indistinguibilidad mediante un sistema de axiomas (Garmendia et al., 2003b) y se calcula dicha medida utilizando el algoritmo anteriormente construido.

Axiomas de especificidad bajo una T-indistinguibilidad: Sea m un conjunto borroso, sea Sp(m ) una medida de especificidad y sea S una T-indistinguibilidad. Sp(m /S) en una meida de especificidad de un conjunto borroso m bajo una T-indistinguibilidad si:

1. Sp({x} / S) = 1

2. Sp(Æ / S) = 0

3. Sp(m / Id) = Sp(m )

4. Sp(m / S) ³ Sp(m )

Definición: Dada una medida de especificidad Sp sobre conjuntos borrosos, se define la medida de especificidad Sp(m /S) de m bajo S como la medida de especificidad Sp del conjunto borroso Á asociado al conjunto de los subconjunto independientes de inferencia, o lo que es equivalente, a la medida de espeficidad del conjunto de representantes de los conjuntos independientes de inferencia Xⁿ.

La medida de especificidad de m bajo S calulada mediante el algoritmo propuesto verifica los cuatro axiomas que definen una medida de especificidad bajo una T-indistinguibilidad. La demostración se encuentra en Garmendia et al. (2003b).

Ejemplo: En el ejemplo anterior, que muestra el algoritmo, se han encontrado el siguiente conjunto independiente de inferencia:

y sus valores de pertenencia 1/[x₁]+0.5/[x₃].

Así pues, la medida de especificidad de m bajo la T-indistinguibilidad S es la medida de especificidad del conjunto borroso Á con valores de pertenencia 1/[x₁]+ 0.5/[x₃].

Utilizando, por ejemplo, la medida de espeificidad lineal (Yager; 1990) con un peso w₂ = 1, se tiene que la medida de especificidad de m bajo S es:

Sp(m / S) = Sp(1/[x₁]+0.5/[x₃]) = 1 – 0.5 = 0.5,

mientras que la medida de especificidad lineal de m con un peso w₂ = 1 vale:

La medida de especificidad de m bajo la T-indistinguibilidad S es mayor que la de m , pues la T-indistinguibilidad nos indica que cuatro de las cinco posibles decisiones iniciales son indistinguibles, por lo que la decisión se reduce a elegir entre dos conjuntos, con lo que aumenta la tranquilidad a la hora de tomar una decisión.

El conjunto borroso Á sobre los conjuntos independientes de inferencia permite, por tanto, aplicar diferentes expresiones de medidas de especificidad, y calcular diversas medidas de especificidad de un conjunto borroso m cuando se conoce una T-indistinguibilidad S.

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

En este trabajo se construye un algoritmo que permite agrupar un conjunto finito clásico X, conociendo un conjunto borroso m sobre X y una T-indistinguibilidad, en conjuntos independientes de inferencia. Con ello calcula a su vez los valores de pertenencia del conjunto borroso Á definido sobre esos conjuntos independientes de inferencia.

Por último se resuelve el problema de obtener medidas de especificidad de conjuntos borrosos bajo T-indistinguibilidades ya que se ofrece como una aplicación del método propuesto su cálculo mediante el conocimiento del conjunto borroso Á sobre los conjuntos independientes de inferencia.

Este problema se había resuelto en el caso de las similaridades, debido a que éstas generan relaciones de equivalencia clásicas sobre los conjuntos de nivel, lo que permite calcular sus cardinales, pero no estaba resuelto para indistinguibilidades.

REFERENCIAS

Dubois, D. y H. Prade, The principle of minimum specificity as a basis for evidential reasoning. In: Uncertainty in Knowledge-based Systems, Bouchon, B. & Yager R. R. (Eds.). Springer-Verlag, 75-84 (1987).

Garmendia, L.; R.R. Yager; E. Trillas y A. Salvador, On t-norms based measures of specificity. Fuzzy Sets and Systems 133, (2), 237-248 (2003a).

Garmendia, L.; A. Salvador y E. Trillas, Measures of specificity under indistinguishabilities. Proc. of AGOP’2003. International Summer School on Aggregation Operators and their applications. Universidad de Alcalá de Henares. 79-82 (2003b).

Higashi, M. y G.J. Klir, Measures of uncertainty and information based on possibility distributions. International J. of General Systems 9, 3-58 (1983).

Yager, R. R., Measuring tranquillity and anxiety in decision making: An application of fuzzy sets. Inter. Journal of General Systems 8, 139-146 (1982).

Yager, R. R., Ordinal measures of specificity. Intern. J. of General Systems 17, 57-72 (1990).

Yager, R.R., Similarity based measures of specificity. International Journal of General Systems 19, 91-106 (1991).

Zadeh, L.A., Similarity relations and fuzzy orderings. Information Sciences 3, 177-200 (1971).

Zadeh, L. A., A theory of approximate reasoning. In: J.E. Hayes, D. Michie y L.I. Kulich, Editors, Machine intelligence, John Wiley & Sons, New York, 149-194 (1979).

Zadeh, L.A., Toward a theory of fuzzy information granulation and its centrality in human reasoning and fuzzy logic. Fuzzy Sets and Systems 90, 111-127 (1997).

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