Información Tecnológica-Vol. 15 N° 3-2004, págs.: 3-7

INGENIERÍA MECÁNICA

Ley del Movimiento de Parada de un Palpador de Máquina de Medida por Coordenadas Mediante Curvas de Bézier

Stopping Motion Law of a Coordinate Measurement Machine Finger using Bézier Curves

J.M. Veciana y S. Cardona

Univ. Politécnica de Cataluña, Dpto. de Ingeniería Mecánica, Diagonal N°647, 08028 Barcelona-España
(e-mail: joaquim.maria.veciana@upc.es)

Resumen

Se propone la definición, a través de curvas de Bézier no paramétricas, de la ley que rige el movimiento de parada de un palpador de máquina de medida por coordenadas. Se busca reducir las oscilaciones o  vibraciones entre dicho palpador y la base, para inducir el mínimo error de medida al final del transitorio.  Los resultados obtenidos muestran que el aumento del grado de continuidad C_i al inicio del transitorio provoca un aumento de la amplitud de las oscilaciones del sistema y que el aumento del grado de continuidad C_j al final del transitorio no tiene un efecto relevante. Se concluye que los resultados de este trabajo, son válidos para un sistema lineal vibratorio genérico de n grados de libertad y que se requieren curvas definidas por tramos, como las B-splines, para poder suavizar la curva al inicio del transitorio, sin el aumento de las oscilaciones.

Abstract

A definition is proposed for determining the stopping motion law for a touching finger of a coordinate measurement machine using non-parametric Bézier curves. An attempt was made  to reduce oscillations or vibrations between this finger and the machine jig, to produce the minimum measurement error at the end of the transient. The results obtained showed that the increase in the continuity index C_i at the beginning of the transient result in an increment of system oscillations, and the increase in the continuity index C_j at the end of the transient had no relevant effect. It is concluded that the results of this study are valid for a generic vibratory lineal system with n degrees of freedom, and shows that curves defined by sections, such as with  B-splines, are required to smooth the curve at the beginning of the transient without increasing the oscillations.

Keywords: machine design, coordinate measurement, touching finger, vibration reduction, Bezier curves

INTRODUCCIÓN

En las máquinas de medida por coordenadas, uno de los parámetros importantes para su amortización económica es el número de medidas por minuto que pueden llegar a realizar. Los movimientos rápidos, con rampas de aceleración agresivas incrementarán su efectividad aunque pueden aparecer vibraciones residuales no deseadas que introduzcan errores en la medida a realizar al finalizar el movimiento. Se propone la definición, a través de curvas de Bezier no paramétricas, de la ley que rige dicho transitorio de parada con el objetivo principal de reducir estas oscilaciones entre el palpador y la base de medida.

Dentro de los procedimientos actuales relativos a este estudio, la definición de leyes de movimiento mediante curvas que provienen del Diseño Geométrico Asistido por Ordenador (y en concreto las curvas de Bézier) tiene su origen en la síntesis de mecanismos levapalpador. El uso de curvas de Bézier paramétricas para este fin fue propuesto por primera vez por Ting et al. (1990). Posteriormente Srinivasan y Ge (1998) utilizaron curvas no paramétricas. En ambos casos se exponía la facilidad y la intuición de modificar la geometría de la curva a través de su polígono de control y establecer a voluntad las condiciones de continuidad en las uniones entre curvas. Cardona y Clos (2000) dedican un capítulo a la síntesis de leyes de movimiento de cualquier índole (no solo en mecanismos leva-palpador) por medio de estas curvas.

El estudio de la reducción de oscilaciones al final de un transitorio de movimiento tiene su origen en aplicaciones sobre manipuladores robóticos con más o menos flexibilidad en sus elementos. Las técnicas más estudiadas co-rresponden a i) perfilado de señales de control mediante convolución de un tren de impulsos. La oscilación generada en el sistema por un impulso es cancelada por superposición de la oscilación generada por un segundo impulso (Singer y Seering, 1990). Hyde y Seering (1991) proponen una extrapolación de este método para cancelar varios modos propios de vibración, ii) reducción de la respuesta del sistema mediante filtrado digital de la señal de control en la banda de frecuencias de interés. Singhose et al. (1995) hacen una comparación entre diferentes métodos de filtrado empleando filtros FIR y IIR. Chen y Lee (1998) explican un algoritmo de diseño de filtro FIR para movimientos punto a punto. Peláez et al. (2003) analizan los efectos negativos de los juegos en sistemas mecánicos flexibles y proponen un filtro FIR que solventa dichos efectos y iii) definición de leyes de movimiento por inversión de la dinámica del sistema. Consiste en la generación de la señal de control partiendo de la ecuaciones dinámicas del sistema invertidas, y de la trayectoria de salida deseada. En sistemas lineales esta técnica equivale al cociente de la respuesta deseada y la respuesta frecuencial del sistema. Para sistemas no lineales, la inversión de las ecuaciones dinámicas del sistema es necesaria (Asada et al., 1987). Singer y Seering (1990) explican los inconvenientes importantes al utilizar esta técnica debido a la posibilidad de no encontrar solución a la trayectoria escogida, y a los problemas de mal condicionamiento al dividir por valores próximos a cero. Bayo (1988) utiliza una trayectoria muy simple para garantizar el éxito del cálculo.

Esquema equivalente

En el margen frecuencial de interés, dicha máquina se puede modelar ( tal y como se indica en la Figura 1) mediante las masas m₁, m₂ y m₃ que corresponden al mármol de medida, puente y palpador respectivamente, y a unas rigideces y amortiguamientos k₁, c₁, k₂ y c₂ que corresponden al soporte del mármol de medida y al puente respectivamente.

Se toman como coordenadas independientes x e y para los movimientos horizontales de las masas m₁ y m₂ respectivamente, respecto a la referencia absoluta "suelo", y coordenada z_rel para el movimiento horizontal de la masa m₃ respecto a la referencia relativa solidaria a la masa m₂.

Fig.2: Funciones de transferencia y (f frecuencia).

En la Figura 2 se observan las frecuencias propias de vibración próximas a 10 y 40 Hz, correspondientes a la máquina estudiada.

Hipótesis funcionales

Las hipótesis funcionales escogidas para esta aplicación son: i) la limitación de la distancia recorrida durante la parada del palpador, con-siderando curvas de velocidad equivalentes aquellas que lo detienen en la misma distancia relativa Z_rel y ii) la limitada capacidad de respuesta del motor que arrastra dicho palpador, con lo que se propone que la aceleración relativa no cambie de signo durante el transitorio.

METODOLOGÍA

La reducción de oscilaciones residuales requiere definir una curva de velocidad relativa cuyo perfil en el dominio frecuencial sea lo más atenuado posible, en el rango de frecuencias de interés. Suavizando las uniones entre los diferentes tramos se reducen las componentes de alta frecuencia. Reduciendo el valor máximo del módulo de la aceleración se atenúa el efecto en todo el rango de frecuencias. Se construye la curva uniendo a través de una curva de Bezier los tramos de velocidad constante y velocidad nula. Para suavizar las uniones se ha variado el grado de continuidad entre dicha curva de Bezier y el tramo de velocidad constante al inicio del transitorio (C_i) y de velocidad nula al final del transitorio (C_j). Para reducir el valor de la aceleración máxima se define la curva de Bezier con el mínimo grado del polinomio que permite cumplir las condiciones de continuidad deseadas.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En el estudio del efecto de C_i se ha aumentado de i=1¸ 6 manteniendo fija C_j en j=1. Para el estudio del efecto de C_j se ha procedido de manera análoga aumentando j de j=1¸ 6 manteniendo fija C_i en i=1. Se muestran, en las Figuras 3 y 4, las curvas de velocidad y aceleración relativa para ambos casos. Se observa en el dominio temporal, que el aumento de C_i implica el aumento del valor absoluto de la aceleración máxima; por el contrario, el aumento de C_j no tiene un efecto relevante.

Igualmente, en el dominio frecuencial (Figura 5) al aumentar C_i se observa un aumento del módulo de la amplitud de dicha excitación para cualquier valor de frecuencia. El aumento de C_j no tiene efecto significativo. En consecuencia, las respuestas x(t) y y(t)-x(t) siguen esta misma tendencia (Figura 6).

Fig. 4: Velocidad y aceleración variando C_j.

Fig. 5: Efecto de C_i (arriba) y C_j (abajo) en el dominio frecuencial.

Fig. 6: Respuesta x(t) y y(t)-x(t) variando C_i y C_j.

Explicación geométrica simplificada

En el gráfico simplificado de la Figura 7 se observa que la condición de igualdad de distancia de parada, equivale a la igualdad de área encerrada bajo la curva de velocidad . Por tanto el área A equivale al área C.

Representando la variación de la aceleración a₂ frente a la aceleración a₁, para los dos casos, se obtiene el gráfico de la Figura 8. En éste se aprecia una notable diferencia en el valor de la aceleración a₂ según se suavice con a₁ al inicio o al final del transitorio.

CONCLUSIONES

Reyes (2000) manifiesta que en el uso de curvas de Bézier para definir leyes de movimiento se observan las siguientes ventajas frente a curvas armónicas o polinomios algebraicos: i) fácilmente se imponen condiciones de continuidad C_i en las uniones entre tramos, ii) intuitivamente se puede modificar su perfil actuando sobre su polígono de control.

Reyes (2000) también explica las siguientes desventajas frente a curvas polinómicas definidas por tramos (curvas B-spline) i) curvas con geometría compleja resultan en polinomios de grado elevado, y por tanto se pueden generar inestabilidades numéricas y ii) falta de control local, reflejado en la variación de todo el perfil de la curva al variar un punto del polígono de control.

La variación del grado de continuidad al inicio del transitorio (C_i) aumenta la amplitud de las oscilaciones en todo el rango de frecuencias, y al final del transitorio (C_j) no tiene una efecto relevante.

En el dominio frecuencial, ambos resultados son válidos para un sistema genérico con n grados de libertad vibratorios, ya que la variación de C_i y de C_j afecta con la misma tendencia a todo el rango de frecuencias.

Para estudios posteriores, se requerirá poder suavizar localmente las uniones, sin que ello afecte de manera significativa el valor de la deceleración máxima. Por tanto se propone el uso de curvas definidas por varios tramos (curvas B-spline) que permiten independizar en mayor grado estas dos condiciones (Farin, 1997).

REFERENCIAS

Asada, H., Z.D. Ma, y H. Tokumaru, Inverse Dynamics of Flexible Robot Arms of Trajectory Control, Moldeling and Control of Robotic Manipulators, ASME Winter Annual Meeting: 329-336 (1987).

Bayo, E., Computed Torque for the Position Control of Open Chain Flexible Robots, Pro ceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation: 316-321 (1988).

Cardona, S. y D. Clos, Teoría de Máquinas, Ediciones UPC, Barcelona - Spain (2000).

Chen, C.S. y A.C. Lee, Design of Acceleration/ Deceleration Profiles in Motion Control Based on Digital FIR Filtres, International Journal of Machine Tools and Manufacture: 38 (7), 799-825 (1998).

Farin, D., Curves and Surfaces for CAGD, Academic Press, San Diego - USA (1997).

Hyde, J.M. y W.P. Seering, Using Input Command Pre-Shaping to Suppress Multiple Mode Vibration, Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation: 2604-2609 (1991).

Peláez, G., G. Peláez, J.M. Pérez, A. Vizán y E. Bautista, Reducción de la Vibración Utilizando Diagramas en el Plano de Fase para Diseñar Ordenes de Movimiento Filtradas, VI Congreso Ibero Americano de Ingeniería Mecánica: 2, 1769-1774 (2003).

Reyes, G., Técnicas de diseño asistido por ordenador para mecanismos levapalpador, Tesis doctoral UPC: 33, 62, 120 (2000).

Singer, N.C. y W.P. Seering, Preshaping Command Inputs to Reduce System Vibration, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, Transactions of the ASME: 112, 76-82 (1990).

Singhose, W.E., N.C. Singer y W.P. Seering, Comparison of Command Shaping Methods for Reducing Residual Vibration, Proceedings of the European Control Conference: 1126-1131 (1995).

Srinivasan, L.N. y Q.J. Ge, Designing Dynamically Compensated and Robust Cam Profiles with Bernstein Bézier Harmonic Curves, Journal of Mechanical Design, Transactions of the ASME: 120, 40-45 (1998).

Ting, K.L., N.L. Lee y G.H. Brandman, Bézier Motion Programs in Cam Design, Proceedings of the 1990 ASME Mechanisms Conference, 141-148 (1990).

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