Información Tecnológica - Vol. 15 N° 1 - 2004: 29-34

INGENIERÍA MECÁNICA

Estrategias de Optimización Metrológica para Composiciones de Bloques Patrón Angulares

Metrological Optimization Strategies for Angular Gauge-Block Combination

L. Sevilla^1* y M.A. Sebastián²

(1) Univ. de Málaga, E.T.S. Ingenieros Industriales, Dpto. Ingeniería Civil, de Materiales y Fabricación,
Plaza el Ejido s/n, 29013 Málaga-España (e-mail: lsevilla@uma.es)
(2) Univ. Nacional de Educación a Distancia, E.T.S. Ingenieros Industriales, Dpto. de Ingeniería de
Construcción y Fabricación, c/ Ciudad Universitaria s/n, 28040 Madrid-España

*autor a quien debe ser dirigida la correspondencia

Resumen

En el presente trabajo se analizan los problemas que surgen al utilizar bloques patrones angulares en aplicaciones metrológicas. Mediante un programa informático desarrollado específicamente al efecto, se caracterizan las diferentes opciones para formar un valor angular, en función del juego de bloques utilizado y de la estrategia de combinación elegida para optimizar la incertidumbre del conjunto. Los resultados muestran que es posible realizar la optimización del número de bloques y minimizar así el valor de la incertidumbre global. Además, se justifican las implicaciones que genera su empleo en la medición de un ángulo, al utilizar métodos de medida indirecta, permitiendo de esta manera acotar el intervalo de incertidumbre esperado

Abstract

In this work, the problems of using angular gauges in metrological applications are analyzed. By means of a computer program specifically developed to this end, the different options to form an angular value are characterized, as a function of the set of gauges applied and the combination strategic selected to optimize the uncertainly of the set. The results show that it is possible to optimize the gauge block number and to minimize the global uncertainty value. In addition, the implications that their use generates in angular measurement, employing indirect measure methods, are justified, allowing limiting the expected uncertainty interval.

Keywords: angular gauge-block, dimensional metrology, uncertainty interval, indirect measurement

INTRODUCCIÓN

De construcción similar a la de los bloques patrón longitudinales, aunque en forma de cuña, los bloques patrón angulares (BPA) son elementos que permiten materializar un ángulo entre dos de sus caras planas, con gran precisión y sencillez (Farago y Curtis, 1994). Su origen se debe a C. E. Johansson y G. A. Tomlinson (Busch et al., 1998).

Los BPA tienen mayor combinabilidad que los bloques longitudinales pues, a diferencia de estos últimos, pueden combinarse tanto en concordancia como en oposición (aditiva o sustractivamente), lo cual permite que con un número muy reducido de BPA se pueda materializar una gran cantidad de valores angulares. Basta apreciar que mientras con dos bloques longitudinales sólo es posible formar tres composiciones diferentes, el uso de un par de bloques angulares permite materializar hasta ocho ángulos (Evans y Taylerson, 2000).

Si bien existen múltiples presentaciones (MOY/SCMI/18, 2001), un juego completo consta de 17 piezas, un bloque cuadrado (4 ángulos de 90°) y 16 calas patrón con los siguientes valores nominales:

6 bloques de grados: 1º, 3º, 5º, 15º, 30º, 45º
5 bloques de minutos: 1’, 3’, 5’, 20’, 30’
5 bloques de segundo: 1", 3", 5", 20", 30"

Con estos 16 bloques se pueden formar 356400 combinaciones (Carro, 1980), y de esta manera se puede conseguir ángulos comprendidos entre 0 y 99° con intervalos de un segundo, siendo el objetivo del presente trabajo optimizar estas combinaciones, mediante las expresiones de la incertidumbre de las combinaciones, para lo que se optará entre distintas metodologías de optimización.

INCERTIDUMBRE DE LA COMPOSICIÓN
DE BLOQUES ANGULARES

Los BPA tiene dos aplicaciones metrológicas principales: la materialización de ángulos conocidos y la determinación de valores desconocidos mediante métodos de medida indirecta, como el de la Fig. 1 (Sevilla, 2002).

Cuando se desea materializar un ángulo mediante una composición de BPA, se procede a la determinación de qué patrones del juego son necesarios para, mediante sencillas operaciones de adición o sustracción, obtener el valor nominal de dicho ángulo.

(1)

Una estrategia inicial consiste en descomponer el valor del ángulo , que se desea materializar, como suma de partes enteras, expresadas en grados, _g, minutos, _m, y segundos, _s; de donde:

(2)

Los BPA necesarios podrán determinarse formando, de manera independiente, las composiciones de las partes enteras expresadas en grados, minutos y segundos, es decir:

(3)

donde cada variable representa a los posibles BPA individuales de la familia empleada, agrupados según los ángulos vengan expresados en grados, minutos o segundos; los índices pueden variar desde cero (no se utiliza ningún bloque sumando o restando) hasta el número de bloques en concordancia u oposición (signo + o -).

La incertidumbre de una composición se obtendrá aplicando la Ley de Propagación de Varianzas (ISO, 1993) sobre el conjunto de bloques, teniendo en cuenta que suele ser constante para los BPA de una misma calidad.

(4)

Cabe pensar si, considerando la incertidumbre de la composición, la presente estrategia se puede aceptar como adecuada, ya que dicha incertidumbre, supuestos todos los bloques con idéntico valor de incertidumbre, se puede expresar como:

(5)

Sería adecuado revisar el procedimiento de formación de las composiciones, buscando una alternativa que minimizase el número total de bloques, n, optimizando de esta manera la incertidumbre global resultante.

Metodología para la Optimización
de composiciónes

Una primera modificación en la estrategia consistiría en realizar las composiciones, para las partes expresadas en grados, minutos y segundos, de forma no independiente. El procedimiento consistiría en, dado un valor angular, determinar, en sucesivas iteraciones, el valor del bloque angular que se encuentre más próximo al ángulo restante, tras haber eliminado del valor inicial el valor de las composiciones previas.

El procedimiento anterior se podría mejorar mediante la búsqueda no sólo de un BPA, cuyo valor minimice al resto resultante de quitar al valor inicial las composiciones previas, sino comparando este resultado con la combinación de parejas de bloques, tanto en oposición como en concordancia. Por lo que la generalización de este criterio consistiría en la comparación de sucesivas combinaciones formadas mediante un número sucesivamente creciente de bloques, de manera que se minimice la diferencia del resto resultante de quitar, al valor inicial, las composiciones previas.

Para realizar este estudio se ha implementado un programa informático, en lenguaje Visual Basic, que ha permitido realizar estudios estadísticos del conjunto de ángulos que es factible materializar mediante diferentes juegos de BPA, pudiendo analizar y resolver el problema de la composición angular de forma generalizada (Sevilla, 2002).

La manera en que se realiza la optimización de la composición de bloques se basa en la definición de una matriz inicial, constituida por los valores nominales del conjunto de los BPA existentes en un juego, por ejemplo 16. Se define esta matriz a través de los valores de cada uno de los bloques expresados en segundos, de manera que se tiene, para ese juego, una matriz de bloques totales, BT(1×16):

Creada esta matriz, que es inmutable a lo largo de la ejecución del programa, se consideran otras dos, de idénticas dimensiones: BU, inicialmente vacía, y que identifica los bloques que están siendo usados en cada paso iterativo; y BR, que denotará el resto de los bloques no usados, por lo que se la iguala inicialmente a BT.

En sucesivos pasos se va calculando el ángulo resultante de restar al valor nominal cada uno de los bloques de BR, identificando la menor diferencia. Simultáneamente se realiza la misma operación pero a través de la diferencia entre el ángulo nominal y combinaciones de dos bloques de BR, en cualquiera de sus posiciones (restando o sumando), de manera que se generará un nuevo valor mínimo. Este proceso se puede generalizar a tantas combinaciones de bloques como se desee, de manera que se pueden calcular las mínimas diferencias. Este paso permite generar una segunda iteración, repitiendo el proceso de restar un bloque, dos, etc., de los que quedan en BR, al valor del ángulo resultante de las diferencias anteriores. Este procedimiento, en un número no muy elevado de iteraciones, permite calcular la composición óptima de bloques para cada ángulo, que será aquella que se actualice en BU.

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

El programa anteriormente referido se puede emplear para la determinación del número máximo de bloques en composición que materializan cualquier ángulo, dentro de un intervalo angular definido y para un juego de bloques concreto, es decir, para cada división de escala. Así, por ejemplo, en un juego de 16 BPA, con incrementos de 1", en el intervalo de 0-45°, este número nunca será superior a 12. De esta manera queda relacionado el escalonamiento del juego bloques angulares utilizado con el valor máximo de unidades que se precisarán para el valor angular más desfavorable.

Este resultado genera la dificultad clásica del tratamiento de la incertidumbre asociada a la determinación de un ángulo desconocido, que era una de las grandes aplicaciones de los BPA mediante el empleo de métodos de medida indirectos (Sevilla y Sebastián, 2003), si bien los resultados extraídos del programa informático que se ha implementado permiten acotar el grado de dispersión de esta distribución de valores dentro de un intervalo mucho más reducido.

Empleando igualmente el programa informático, se puede determinar, en diferentes intervalos de valores, las distintas composiciones de bloques que son necesarias, lo que permitirá analizar su evolución en función del ángulo (Fig. 2). Del conjunto completo de gráficos, definidos para el campo de variación de los entornos angulares, se puede deducir que el número de bloques necesarios sufre bastantes fluctuaciones, pero guarda un orden de variabilidad, encontrando que, salvo en casos excepcionales, existe una concatenación de tres niveles de fluctuaciones (valores incrementales pequeños, medianos o grandes).

Igualmente se puede llegar a la conclusión de que el número de BPA utilizados no es tan aleatorio, en su evolución, como para suponer que cualquier composición tiene la misma probabilidad. Muy al contrario, el valor medio de dichas composiciones fluctúa en un intervalo relativamente pequeño, de manera que interesaría estudiar la distribución de valores del número de BPA que se emplean en el conjunto de todas las composiciones.

Así, ejecutando el programa en un intervalo restringido, sucesivamente creciente, se puede obtener la gráfica de dicha distribución, pasando de las consideraciones estadísticas discretas a las continuas (Coleman y Steele, 1999). Considérese por ejemplo, en la Fig. 3, el intervalo de valores angulares de 0° y 1°, con un total de 3600 composiciones, y la distribución del número de bloques utilizado en cada composición.

Realizando un estudio global de la totalidad de las composiciones angulares, en el intervalo de 0° a 45°, se puede ver cómo la distribución de valores se va aproximando paulatinamente a una normal (Fig. 4), observándose que el valor de la media de la distribución va desplazándose desde un valor inicial próximo a 5, hasta uno final próximo a 7.

Además, el valor de la dispersión de la distribución del número de bloques angulares es relativamente pequeño, tendiendo a concentrarse la mayor parte en torno al valor medio (el 98,32 % de las composiciones tienen 7±3 bloques, mientras que sólo una de cada diez composiciones tiene un número superior a 9 o inferior a 5), tal y como justifica la Tabla 1 y la Fig. 5.

Tabla 1: Porcentaje de composiciones
incluido alrededor del valor central

De esta manera queda delimitado el carácter aleatorio del número de bloques en cada intervalo angular, pasando del clásico intervalo de 1-12 unidades, que hasta el momento se postulaba (Carro, 1980), al de composiciones con 7±3 BPA con una probabilidad superior al 98% para ángulos comprendidos entre 0 y 45º, lo que supone un gran avance cuando se emplean en cálculos no determinísticos, como los referidos métodos indirectos.

Se justifica así la posibilidad de acotar, de forma global, la incertidumbre del método indirecto de medida de ángulos con bloques patrón angulares (Sevilla, 2002), frente a la identificación de intervalos parciales que anteriormente se precisaba definir (Carro, 1980), lo que generaba métodos no integrados y con resultados especiales para cada conjunto de valores límites.

Por otra parte, de la discusión del problema, resulta evidente que la estrategia elegida para la selección de BPA que forman las composiciones tiene una apreciable influencia en el resultado final de la incertidumbre de la composición, siendo por ello necesario el empleo de métodos que optimicen el número necesario de dichos bloques.

Igualmente, si bien la implementación del programa que determina estas composiciones ha generado diversas estrategias que permiten alcanzar composiciones válidas, la discusión sobre el grado de adecuación de cada una ha permitido seleccionar aquella que verifica el criterio de minimización del número total de bloques, mediante la comparación de sucesivas combinaciones formadas por números crecientes de bloques, frente a la diferencia del resto resultante de quitar al valor angular inicial las composiciones previas.

CONCLUSIONES

Las principales conclusiones extraídas analizando el anterior estudio se pueden concretar en los siguientes puntos: 1) La estrategia elegida tiene una gran influencia sobre la incertidumbre de la composición, al optimizarse el número necesario de dichos bloques; 2) Se ha relacionado el escalonamiento del juego de bloques angulares con el valor máximo de unidades que se precisarán para el valor angular más desfavorable; 3) Se han constatado las grandes fluctuaciones existentes entre valores de ángulos próximos, pero también un cierto orden en su variabilidad; 4) Se ha acotado el carácter aleatorio del número de bloques en cada intervalo angular; 5) Es posible minimizar el valor de la incertidumbre global al realizar la optimización del número de bloques, para un valor angular preestablecido; 6) Se puede acotar la incertidumbre del método indirecto de medida de ángulos con bloques patrón angulares.

REFERENCIAS

Busch, T., R. Harlow y R.L. Thompson, Fundamentals of Dimensional Metrology, 3ª edición, Delmar Publishers, New York - USA (1998).

Coleman, H.W. y W.G. Stelle, Experimentation and Uncertainty Analysis for Engineers, 2ª edición, Wiley-Interscience Publication, New York - USA (1999).

Carro, J., Estudio Comparativo de los Métodos de Formación de Patrones Angulares de Alta Precisión en Metrología Dimensional, III Congreso Nacional de Investigación, Diseño y Utilización de Máquinas-Herramienta, 477-485, San Sebastián -España (1980).

Evans, J.C. y C.O. Taylerson, Measurement of Angle in Engineering, 3ª edición, HMSO Publications Centre, London - UK (2000).

Farago, F.T. y M.A. Curtis, Handbook of Dimensional Measurement, 3ª edición, Industrial Press, New York - USA (1994).

ISO, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, International Organization for Standardization, Genève - Switzerland (1993)

MOY/SCMI/18, Specification of Accuray for a Set of Combination Angle Gauges, National Physical Laboratory, Teddington - UK (2001).

Sevilla, L., Análisis Comparativo y Propuesta Metodológica para la Evaluación de Incertidumbres en Métodos de Medida Indirecta de Longitudes, Servicio de Publicaciones e Intercambio Científico de la Universidad de Málaga, Málaga - España (2002).

Sevilla, L. y M.A. Sebastián, Estudio Geométrico y Metrológico para la Evaluación de la Incertidumbre y la División de Escala en el Método de las Varillas Calibradas, Revista Iberoamericana de Ingeniería Mecánica, 7 (1), 47-57 (2003).

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