Operator-valued Fourier multipliers on toroidal Besov spaces

Multiplicadores de Fourier operador-valuados sobre espacios de Besov toroidales

We prove in this paper that a sequence M: Zⁿ → L(E) of bounded variation is a Fourier multiplier on the Besov space B^s_{p, q}(Tⁿ, E) for s ∈ R, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ and E a Banach space, if and only if E is a UMD-space. This extends the Theorem 4.2 in [3] to the n-dimensional case. As illustration of the applicability of this results we study the solvability of two abstract Cauchy problems with periodic boundary conditions.

En el presente artículo se prueba que una sucesión M: Zn → L(E) de variación acotada, es un multiplicador de Fourier sobre el espacio de Besov Bsp, q(Tn, E) para s ∈ R, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ 1 y E un espacio de Banach, si y solo si, E es un espacio UMD. Este resultado extiende el Teorema 4.2 en [3] al caso n-dimensional. Como ilustración de la aplicabilidad de este resultado, se estudia la solubilidad de dos problemas de Cauchy abstractos con condiciones de frontera periódicas.

DOI: https://doi.org/10.15446/recolma.v50n1.62205

Bienvenido Barraza Martínez, Iván González Martínez, Jairo Hernández Monzón¹

¹ Universidad del Norte, Barranquilla, Colombia. bbarraza@uninorte.edu.co, idgonzalez@uninorte.edu.co, jahernan@uninorte.edu.co

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Abstract

We prove in this paper that a sequence M: Zⁿ → L(E) of bounded variation is a Fourier multiplier on the Besov space B^s_{p, q}(Tⁿ, E) for s ∈ R, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ 1 and E a Banach space, if and only if E is a UMD-space. This extends the Theorem 4.2 in [3] to the n-dimensional case. As illustration of the applicability of this results we study the solvability of two abstract Cauchy problems with periodic boundary conditions.

Keywords: Fourier multipliers, operator-valued symbols, UMD-spaces, toroidal Besov spaces.

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2010 Mathematics Subject Classification: 42A45, 47A56.

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Resumen

En el presente artículo se prueba que una sucesión M: Zⁿ → L(E) de variación acotada, es un multiplicador de Fourier sobre el espacio de Besov B^s_{p, q}(Tⁿ, E) para s ∈ R, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ 1 y E un espacio de Banach, si y solo si, E es un espacio UMD. Este resultado extiende el Teorema 4.2 en [3] al caso n-dimensional. Como ilustración de la aplicabilidad de este resultado, se estudia la solubilidad de dos problemas de Cauchy abstractos con condiciones de frontera periódicas.

Palabras claves: Multiplicadores de Fourier, símbolos operador-valuados, espacios UMD, espacios de Besov toroidales.

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(Recibido en septiembre de 2015. Aceptado en mayo de 2016)