Raíces históricas y trascendencia de la geometría analítica

• Autores: Pedro Miguel González Urbaneja
• Localización: Sigma: revista de matemáticas = matematika aldizkaria, ISSN 1131-7787, Nº. 30, 2007, págs. 205-236
• Idioma: español
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• Resumen

  • La Geometría Analítica es un poderoso instrumento de ataque de los problemas geométricos que utiliza como herramienta básica el Álgebra. La esencia de su aplicación en el plano es el establecimiento de una correspondencia entre los puntos del plano y pares ordenados de números reales, es decir, un sistema de coordenadas, lo que posibilita una asociación entre curvas del plano y ecuaciones en dos variables, de modo que cada curva del plano tiene asociada una ecuación f (x,y) = 0 y, recíprocamente, para cada ecuación en dos variables está definida una curva que determina un conjunto de puntos en el plano, siempre respecto de un sistema de coordenadas.

    La Geometría Analítica es, pues, una especie de diccionario entre el Álgebra y la Geometría que asocia pares de números a puntos y ecuaciones a curvas. Pero esta asociación va mucho más allá de lo gramatical ya que vincula también las sintaxis del Álgebra y la Geometría, es decir, las relaciones, vínculos y operaciones entre los elementos de ambas. Así para hallar geométricamente la intersección de dos curvas f (x,y) = 0, g (x,y) = 0 (problema geométrico) habría que resolver de forma algebraica el sistema de ecuaciones formado por ambas (problema algebraico). Además, para cada curva f (x,y) = 0, la Geometría Analítica establece también una correspondencia entre las propiedades algebraicas y analíticas de la ecuación f (x,y) = 0 y las propiedades geométricas de la curva asociada. De hecho, estas propiedades geométricas son el trasunto geométrico de la estructura algebraica de la expresión f (x,y) = 0 y se establecen mediante el cálculo literal que permite el Álgebra. En particular la tarea de probar un teorema o resolver un problema en Geometría se traslada de forma muy eficiente a probarlo o resolverlo en Álgebra utilizando el cálculo analítico.